Испытания Бернулли представляют собой важную часть вероятностной теории и широко используются в реальной жизни и науке. Эти эксперименты отличаются своей простотой и универсальностью. Для учеников 9 класса важно понять, что они являются базовым элементом изучения вероятностей.
Что такое испытания Бернулли
Испытанием Бернулли называют эксперимент, который удовлетворяет трём условиям:
- Результат строго бинарен. Это означает, что в ходе эксперимента возможно только два исхода: успех или неудача. Например, подбрасывание монеты имеет два результата — орел (успех) или решка (неудача).
- Вероятности остаются неизменными. На каждом шаге эксперимента вероятность успеха p и вероятность неудачи q = 1 - p остаются постоянными.
- Независимость испытаний. Результат каждого испытания не зависит от предыдущих. Например, вероятность выпадения орла при каждом подбрасывании монеты не зависит от того, что выпало раньше.
Пример использования испытаний Бернулли
Подбрасывание монеты, бросок игрального кубика с проверкой выпадения определённого числа или тестирование изделия на брак — все эти случаи являются примерами испытаний Бернулли.
Серия испытаний Бернулли: свойства и формулы
Когда речь идёт о серии испытаний Бернулли, мы изучаем несколько последовательных экспериментов. Основной интерес представляет вопрос, с какой вероятностью в этой серии произойдёт определённое количество успехов.
Биномиальное распределение
В серии из n испытаний вероятность того, что успех наступит ровно k раз, описывается биномиальным распределением. Формула для вычисления вероятности имеет вид:
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k},где:
- C(n, k) = n! / (k! \cdot (n - k)!) — биномиальный коэффициент, показывающий количество способов выбрать k успехов из n испытаний;
- p — вероятность успеха в одном испытании;
- (1 - p) — вероятность неудачи в одном испытании.
Пример вычисления
Допустим, монету подбрасывают 5 раз. Какова вероятность того, что орел выпадет ровно 3 раза, если вероятность успеха (выпадения орла) равна 0,5?
- Определяем параметры: n = 5, k = 3, p = 0,5.
- Считаем биномиальный коэффициент: C(5, 3) = 5! / (3! \cdot (5 - 3)!) = 10.
- Подставляем значения в формулу:
Таким образом, вероятность составляет 31,25%.
Основные свойства биномиального распределения
Математическое ожидание
Математическое ожидание числа успехов M(X) в серии из n испытаний рассчитывается по формуле:
M(X) = n \cdot p.Например, если монету подбрасывают 10 раз, то ожидаемое количество выпадений орла равно 10 \cdot 0,5 = 5.
Дисперсия
Дисперсия числа успехов D(X) определяется как:
D(X) = n \cdot p \cdot (1 - p).Дисперсия показывает, насколько сильно могут отличаться результаты от среднего значения. В случае 10 подбрасываний монеты дисперсия равна 10 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 2,5.
Стандартное отклонение
Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии:
σ = \sqrt{D(X)}.В нашем примере стандартное отклонение составит \sqrt{2,5} \approx 1,58.
Применение в реальной жизни
Контроль качества
На производстве испытания Бернулли применяют для проверки качества продукции. Например, если вероятность брака равна 0,02, можно оценить, сколько бракованных изделий попадёт в выборку из 100 деталей.
Спортивные соревнования
В спорте этот метод помогает оценивать вероятность успеха команды в серии игр. Например, если вероятность выигрыша команды в одной игре составляет 0,6, можно предсказать, сколько матчей из 7 она выиграет.
Оценка риска
В медицине и страховании вероятностные расчёты помогают прогнозировать риск наступления нежелательных событий, таких как осложнения после операции.
Задачи для самостоятельного решения
- Подбрасывают игральный кубик 8 раз. Найти вероятность того, что число 6 выпадет ровно 2 раза, если вероятность успеха равна 1/6.
- В урне находится 3 белых и 2 чёрных шара. Из урны извлекают шар 5 раз с возвращением. Найти вероятность того, что белый шар выпадет ровно 3 раза.
- Вероятность того, что телефонная линия занята, составляет 0,1. Какова вероятность того, что из 10 звонков линия будет занята ровно 4 раза?
Заключение
Испытания Бернулли — это универсальный инструмент для анализа вероятностей, который можно применять в самых разных областях. Они позволяют оценивать вероятности сложных событий, изучать закономерности и делать выводы на основе данных. Разобравшись с основными формулами и свойствами, вы сможете решать задачи не только из учебника, но и из реальной жизни.