Логарифм и свойства логарифмов

Логарифм

Опубликовано 11.08.2021

Что такое логарифм, как решать примеры с логарифмами и записывать его верно. Разберем эту тему подробнее.

Содержание

Определение логарифма

Логарифмом числа по данному основанию называется показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить заданное число.

Логарифм обозначается так: $\dysplaystyle \log_a {N}=x$ , где $\dysplaystyle a$ — основание логарифма, $\dysplaystyle N$ — заданное (логарифмируемое) число.

Из определения логарифма можно записать показательное уравнение

$\dysplaystyle a^x=N$

Примеры записи логарифма из степени

Пример 1

Записать с помощью знака логарифма следующие равенства: $\dysplaystyle 5^2=25$ .

Решение: Так как основание степени есть 5, то показатель степени (логарифм) равен 2, а степень равна 25, то есть $\dysplaystyle \log_5 {25}=2$ .

Пример 2

Представьте в виде логарифма $\dysplaystyle 7^3=343$ .

Решение: логарифм — это показатель степени. Пишем $\dysplaystyle 3=\log_7 {343}$

Пример 3

Записать без знака логарифма следующее равенство $\dysplaystyle \log_{10} 1000=3$ .

Решение: Здесь основание степени равно 10, показатель степени равен 3, а логарифмируемое число есть 1000. Поэтому $\dysplaystyle 10^3=1000$ .

Пример 4

Найти логарифмы данных чисел по известным основаниям:

$\dysplaystyle \log_2 16$
$\dysplaystyle \log_6 36$
$\dysplaystyle \log_8 1$

Решение:

Здесь нужно найти такой показатель степени x, что $\dysplaystyle 2^x=16$ . Решая это уравнение, получаем $\dysplaystyle 2^x=2^4$ , откуда $\dysplaystyle x=4$ . Итак, $\dysplaystyle \log_16=4$ .
Из уравнения $\dysplaystyle 6^x=36$ находим $\dysplaystyle 6^x=6^2$ , то есть $\dysplaystyle x=2$ . Значит, $\dysplaystyle \log_6 36=2$
В данном случае имеем уравнение $\dysplaystyle 8^x=1$ . Это возможно только при условии, что $\dysplaystyle x=0$ , откуда $\dysplaystyle \log_8 1=0$ .

Определение логарифма позволяет найти не только сам логарифм, но и логарифмируемое число и основание степени.

Пример 5

Определить $\dysplaystyle x$ по заданным условиям:

$\dysplaystyle \log_4 x=-3$
$\dysplaystyle \log_x {\frac{1}{8}}=\frac{3}{}$ .

Решение:

По определению логарифма, запишем $\dysplaystyle 4^{-3}=x$ , откуда $\dysplaystyle x=\frac{1}{64}$
Согласно определению логарифма получаем уравнение $\dysplaystyle x^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{8}$ . Так как $\dysplaystyle \frac{1}{8}=2^{-3}$ и $\dysplaystyle x^{\frac{3}{2}}=\sqrt{x^3}$ , то оно примет вид $\sqrt{x^3}=2^{-3}$ . Возведем обе части в квадрат:
$\dysplaystyle (\sqrt{x^3})^2=(2^{-3})^2$

$\dysplaystyle x^3=2^{-6}$

$\dysplaystyle x=2^{-2}$

$\dysplaystyle x=\frac{1}{4}$

Свойства логарифмов

Отметим основные свойства логарифмов.

Отрицательные числа и нуль не имеют логарифмов.
При любом основании $a$ ( $a>0, a \neq 1$ ) логарифм единицы равен нулю.
Логарифм числа, равного основанию, всегда есть единица.

Логарифмы чисел по основанию 10 принято обозначать $lgx$ , а логарифмы чисел по основанию $e$ , где $e=2,7182...$ , принято обозначать $lnx$ . Таким образом, $\log_{10}x=lgx$ , $\log_{e}x=lnx$ .