Задача. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точки M, N, К середины ребер АА1, ВВ1, ВС соответственно. Докажите, что плоскости МNК и А1В1С параллельны.
Решение 1
Для доказательства параллельности плоскостей MNK и A_1B_1C в параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 можно использовать свойство параллельности плоскостей, которое гласит, что если две плоскости имеют по одной параллельной прямой, то эти плоскости параллельны.
Посмотрим на параллелепипед ABCDA_1B_1C_1D_1 и точки M, N, K , которые являются серединами рёбер AA_1, BB_1, BC соответственно.
1. Точки M и N лежат на серединах рёбер AA_1 и BB_1 , соответственно. Соединив эти точки, получим отрезок MN , который будет параллелен ребру AB (и A_1B_1 ), так как в параллелепипеде противоположные рёбра параллельны.
2. Точка K лежит на середине ребра BC . Отрезок MK будет параллелен плоскости ABCD (и A_1B_1C_1D_1 ), так как M лежит на середине ребра AA_1 , и AA_1 перпендикулярно плоскости ABCD , а значит, и любой линии в этой плоскости, включая BC .
3. Аналогично, отрезок NK будет параллелен плоскости ABCD (и A_1B_1C_1D_1 ), поскольку N лежит на середине ребра BB_1 , и BB_1 перпендикулярно плоскости ABCD .
Итак, у нас есть два отрезка, MN и MK (или NK ), лежащих в плоскости MNK , которые параллельны двум пересекающимся прямым AB и BC в плоскости A_1B_1C . По свойству параллельных прямых, плоскость MNK должна быть параллельна плоскости A_1B_1C , так как они содержат параллельные прямые.
Таким образом, плоскости MNK и A_1B_1C параллельны.
Решение 2 (с векторами)
Давайте исследуем принцип параллельности для плоскостей. Он гласит, что если две плоскости не пересекаются, то любые два вектора, перпендикулярные к этим плоскостям, тоже не будут пересекаться.
Предположим, что векторы \overrightarrow{MK} и \overrightarrow{A_1B_1} перпендикулярны плоскостям MNK и A_1B_1C соответственно. В то же время, пусть векторы \overrightarrow{MN} и \overrightarrow{A_1C} расположены внутри этих плоскостей.
Чтобы установить факт параллельности между плоскостями MNK и A_1B_1C , требуется доказать параллельность между векторами \overrightarrow{MK} и \overrightarrow{A_1B_1} , что эквивалентно утверждению о том, что их скалярное произведение равно нулю.
Рассмотрим вектор \overrightarrow{MK} . Когда точка K является серединой отрезка BC , вектор \overrightarrow{MK} можно выразить как среднее между векторами \overrightarrow{MC} и \overrightarrow{KC} : \overrightarrow{MK} = (\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{KC}) / 2 .
Подобным образом, вектор \overrightarrow{A_1B_1} ассоциируется с точкой B_1 , разделяющей отрезок BC пополам, следовательно, \overrightarrow{A_1B_1} может быть представлен как среднее векторов \overrightarrow{A_1B} и \overrightarrow{B_1C} : \overrightarrow{A_1B_1} = (\overrightarrow{A_1B} + \overrightarrow{B_1C}) / 2 .
Дальнейшие расчёты их скалярного произведения приведут к следующему:
\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{A_1B_1} = \left((\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{KC}) / 2\right) \cdot \left((\overrightarrow{A_1B} + \overrightarrow{B_1C}) / 2\right)Раскрыв скобки, получим:
\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{A_1B_1} = \left(\overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{A_1B} + \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{B_1C} + \overrightarrow{KC} \cdot \overrightarrow{A_1B} + \overrightarrow{KC} \cdot \overrightarrow{B_1C}\right) / 4Однако, поскольку \overrightarrow{MC} и \overrightarrow{KC} перпендикулярны плоскости A_1B_1C , их скалярные произведения с векторами в этой плоскости равны нулю.
Следовательно, скалярное произведение \overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{A_1B_1} равно нулю, подтверждая, что \overrightarrow{MK} и \overrightarrow{A_1B_1} параллельны.
Исходя из этого, можно заключить, что плоскости MNK и A_1B_1C также параллельны друг другу.
Итак, ответ: скалярное произведение \overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{A_1B_1} равно нулю, что и доказывает параллельность плоскостей.