Сегодня мы рассмотрим десятичную и двоичную системы счисления и то, как перевести число из десятичной системы счислению в двоичную и из двоичной в десятичную. Внизу статьи вы можете воспользоваться онлайн калькулятором перевода чисел из двоичной системы счисления в десятичную и из десятичной в двоичную, чтобы проверить свои знания.
Десятичная система счисления — это система с основанием 10, которая использует 10 цифр (0-9) для представления всех возможных значений. Каждая цифра представляет собой степень числа 10, причем самая правая цифра представляет 10^0=1 (единицы), следующая цифра слева представляет 10^1=10 (десятки) и так далее. Эта система обычно используется в повседневной жизни, например, для подсчета денег или измерения расстояний.
С другой стороны, двоичная система счисления — это система с основанием 2, в которой используются только две цифры 0 и 1 для представления всех возможных значений. Каждая цифра представляет собой степень числа 2, причем самая правая цифра представляет 2^0=1, следующая цифра слева представляет 2^1=2 и так далее. Эта система обычно используется в информатике, так как она является основой для цифровой электроники и вычислений.
По сравнению с десятичной системой, двоичная система гораздо более компактна и эффективна для представления чисел, поскольку для представления значения требуется всего две цифры вместо десяти. Однако людям может быть сложнее работать из-за большого количества цифр, необходимых для представления больших значений.
Чтобы перевести число из десятичной системы счисления в двоичную, число несколько раз делится на 2, а остатки записываются в обратном порядке. Например, чтобы преобразовать десятичное число 13 в двоичное:
- 13 ÷ 2 = 6 остаток 1
- 6 ÷ 2 = 3 остаток 0
- 3 ÷ 2 = 1 остаток 1
- 1 ÷ 2 = 0 остаток 1
Записываем остатки от деления в обратном порядке: 1101, поэтому 13 в двоичном формате равно 1101.
Чтобы преобразовать число из двоичной системы счисления в десятичную, каждая цифра умножается на соответствующую степень 2, а результаты суммируются. Например, чтобы преобразовать двоичное число 1101 в десятичное:
1 × 2 ^ 3 + 1 × 2 ^ 2 + 0 × 2 ^ 1 + 1 × 2 ^ 0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13
Таким образом, 1101 в двоичном формате эквивалентно 13 в десятичном.
Десятичная система счисления
Десятичная система счисления, также известная как система с основанием 10, представляет собой числовую систему, в которой для представления любого значения используются 10 цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Значение каждой цифры зависит от ее позиции в числе, где каждая позиция представляет степень числа 10. Например, число 123 имеет 1 в разряде сотен (10^2), 2 в разряде десятков (10^1) и 3 в разряде единиц (10 ^ 0), что дает общее значение 1 10 ^ 2 + 2 10 ^ 1 + 3 * 10 ^ 0 = 123.
Считается, что десятичная система счисления была разработана древними индийцами около 300 г. до н.э. Система основана на использовании десяти различных символов или цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9) для представления всех возможных числовых значений. Позиция каждой цифры в числе представляет собой его разрядное значение, при этом крайняя правая цифра представляет единицы, следующая цифра слева представляет десятки и так далее, причем каждая последующая цифра представляет собой степень десяти.
Десятичная система стала наиболее широко используемой системой счисления в мире, используемой для повседневного счета, математики и измерений. Он используется в различных областях, включая финансы, науку и технику. Десятичная система также является основой для метрической системы измерения, которая используется в большинстве стран мира.
Однако десятичная система может стать громоздкой при работе с очень большими или очень маленькими значениями, где другие системы счисления, такие как экспоненциальное представление или двоичная система счисления, могут быть более полезными.
Двоичная система счисления
Двоичная система счисления — это система счисления, в которой используются только две цифры, 0 и 1. Она широко используется в современной цифровой электронике, вычислительной технике и телекоммуникациях.
Происхождение двоичной системы счисления можно проследить до работ немецкого математика и философа Готфрида Вильгельма Лейбница в 17 веке. Его интересовал поиск универсального языка, который можно было бы использовать для представления всех человеческих знаний, и он считал, что двоичная система счисления может стать основой для такого языка.
Использование двоичной системы счисления в вычислительной технике и цифровой электронике получило широкое распространение в 20 веке, во многом благодаря развитию первых электронно-вычислительных машин. Двоичные числа используются для представления данных и инструкций в компьютерных программах, а также для хранения данных в памяти компьютера.
Одним из основных преимуществ двоичной системы счисления является то, что она хорошо подходит для электронного хранения и обработки. Это связано с тем, что электронные устройства могут легко различать два состояния, такие как «включено» и «выключено», которые могут быть представлены двоичными цифрами 1 и 0.
В целом, двоичная система счисления произвела революцию в современной вычислительной технике и цифровой электронике, и сегодня она продолжает играть центральную роль во многих областях техники.
Примеры перевода из десятичной в двоичную и из двоичной в десятичную
Пример перевода числа из десятичной системы в двоичную
Пример 1
Перевести число 10 из десятичной системы в двоичную.
Решение:
- Разделим 10 на 2, получим 5, остаток 0.
- Делим 5 на 2, получаем 2, остаток 1.
- Делим 2 на 2, получаем 1, остаток 0.
Значит, записываем остатки, начиная с последнего результата деления — 1010. Это число 10 в двоичной системе.
Ответ: 1010.
Пример 2
Перевести число 6 в двоичную систему счисления.
Решение:
- Делим 6 на 2, получаем 3 в остатке 0.
- Делим 3 на 2, будет 1, в остатке 1.
Значит, число 6 в двоичной системе счисления будет 110.
Ответ: 110.
Пример 3
Перевести число 110 из двоичной системы счисления в десятичную.
Решение:
110 состоит из 1, 1 и 0. Переводим так:
1 \cdot 2^2+ 1 \cdot 2^1+0 \cdot 2^0=4+2=6.Ответ: 6
Пример 4
Решение:
Перевести число 0111 из двоичной системы в десятичную:
0 \cdot 2^3+ 1 \cdot 2^2+1 \cdot 2^1+1 \cdot 2^0=0+4+2+1=7.Ответ: 7.
Пример 5
Сколько цифр 1 в двоичном представлении десятичного числа 15
Решение: переведем число 15 из десятичной системы в двоичную, получим:
Переписывает единицы, начиная с последней справа налево: 1111.
Итого в двоичной записи числа 15 четыре единицы.
Ответ: 4
Онлайн калькулятор перевода чисел из двоичной системы в десятичную и из десятичной системы в двоичную