Логические высказывания

Тема “Логические высказывания” изучается в 8 классе по информатике. В этой статье вы узнаете про логические высказывания. Логические значения высказываний. Элементарные и составные высказывания. Логические операции: «и» (конъюнкция, логическое умножение), «или» (дизъюнкция, логическое сложение), «не» (логическое отрицание). Приоритет логических операций. Определение истинности составного высказывания, если известны значения истинности входящих в него элементарных высказываний.

Логические высказывания — это основа для понимания многих процессов в математике и информатике. Они играют важную роль в программировании, анализе данных и других сферах науки, где необходимы точные утверждения и выводы.

Что такое логическое высказывание

Логическое высказывание — это утверждение, которое может быть либо истинным, либо ложным. Высказывания не могут быть одновременно и истинными, и ложными. Например, “2 + 2 = 4” — это логическое высказывание, так как оно является истинным утверждением. В то же время утверждение “2 + 2 = 5” также является логическим высказыванием, но оно ложно. Логические высказывания играют ключевую роль в формировании условий и принятии решений в программировании и математике.

Важно помнить, что логическое высказывание всегда должно иметь определённое значение — истину или ложь. Если утверждение не поддаётся проверке или зависит от субъективного мнения, оно не является логическим. Например, “сегодня хорошая погода” — это не логическое высказывание, так как оно субъективно и зависит от точки зрения человека.

Примеры логических высказываний

Давайте рассмотрим несколько примеров логических высказываний:

1. “5 больше 3” — это истинное логическое высказывание.
2. “Кошки умеют летать” — это ложное логическое высказывание.
3. “Каждое чётное число делится на 2” — это истинное логическое высказывание.

Эти утверждения можно проверить и однозначно определить, являются ли они истинными или ложными.

Элементарные и составные высказывания

Логические высказывания могут быть элементарными и составными.

• Элементарное высказывание — это утверждение, которое не содержит других логических высказываний. Например, “5 больше 3” или “Кошки не умеют летать”. Такие высказывания имеют только одно значение: истинное или ложное.
• Составное высказывание — это утверждение, которое состоит из нескольких элементарных высказываний, связанных логическими операциями, такими как “и”, “или” или “не”. Например, “5 больше 3 и 7 меньше 10” — это составное высказывание, так как оно включает в себя два элементарных утверждения, соединённых конъюнкцией.

Логические операции: отрицание, конъюнкция и дизъюнкция

Для работы с логическими высказываниями используют специальные логические операции. Основные из них — это отрицание, конъюнкция и дизъюнкция.

Не – логическое отрицание

Отрицание (НЕ) — это операция, которая меняет значение логического высказывания на противоположное. Если исходное утверждение является истинным, то его отрицание будет ложным, и наоборот. В математике отрицание обозначается символом “¬” (не) или словом “не” перед утверждением.

Пример:

1. Исходное утверждение: “2 + 2 = 4” (истинно).
2. Отрицание: “2 + 2 ≠ 4” (ложно).

Таким образом, отрицание позволяет получить обратное значение исходного высказывания.

И – конъюнкция – логическое умножение

Конъюнкция — это операция логического “и”. Она объединяет два высказывания и возвращает истину, только если оба высказывания истинны. Конъюнкция обозначается символом “∧” или словом “и”.

Пример:

1. Высказывание X: “2 больше 1” (истинно).
2. Высказывание Y: “3 меньше 5” (истинно).
3. Конъюнкция X ∧ Y: “2 больше 1 и 3 меньше 5” (истинно).

Конъюнкция возвращает ложь, если хотя бы одно из утверждений ложно.

ИЛИ – дизъюнкция – логическое сложение

Дизъюнкция — это операция логического “или”. Она объединяет два высказывания и возвращает истину, если хотя бы одно из них истинно. Дизъюнкция обозначается символом “∨” или словом “или”.

Пример:

1. Высказывание X: “3 больше 2” (истинно).
2. Высказывание Y: “4 меньше 5” (истинно).
3. Дизъюнкция X ∨ Y: “3 больше 2 или 4 меньше 5” (истинно).

Таким образом, дизъюнкция является истинной, если хотя бы одно из утверждений истинно.

Таблицы истинности

Для того чтобы понять, как работают логические операции, используют истинностные таблицы. Таблицы истинности нужны для определения истинности составного высказывания, если известны значения истинности входящих в него элементарных высказываний. Таблица истинности показывает, какое значение будет иметь логическое выражение в зависимости от значений его составляющих. Рассмотрим примеры таких таблиц для основных операций.

Таблица истинности для отрицания

Здесь показано, что отрицание истинного высказывания даёт ложь, а отрицание ложного высказывания — истину.

Таблица истинности для конъюнкции

Конъюнкция истинна только тогда, когда оба высказывания истинны.

Таблица истинности для дизъюнкции

Дизъюнкция истинна, если хотя бы одно из высказываний истинно.

Импликация и эквивалентность

Помимо основных логических операций, существует ещё две важные: импликация и эквивалентность (равносильность).

Импликация

Импликация — это операция, которая выражает зависимость одного высказывания от другого. Импликация записывается как “X → Y” и читается как “если X, то Y”. Импликация является ложной только в одном случае — когда первое утверждение истинно, а второе ложно.

Пример:

1. Высказывание X: “Идёт дождь” (истинно).
2. Высказывание Y: “Земля мокрая” (истинно).
3. Импликация X → Y: “Если идёт дождь, то земля мокрая” (истинно).

Истинностная таблица для импликации

Импликация важна для понимания условий и логики программирования, так как она позволяет формулировать правила и зависимости между событиями.

Эквивалентность

Эквивалентность — это операция, которая утверждает равенство двух высказываний. Эквивалентность обозначается как “X ↔ Y” и истинна тогда, когда оба высказывания имеют одинаковое значение — либо оба истинны, либо оба ложны.

Пример:

• Высказывание X: “2 + 2 = 4” (истинно).
• Высказывание Y: “4 – 2 = 2” (истинно).
• Эквивалентность X ↔ Y: “2 + 2 = 4 тогда и только тогда, когда 4 – 2 = 2” (истинно).

Истинностная таблица для эквивалентности

Эквивалентность позволяет установить связь между двумя утверждениями, когда они имеют одинаковую истинность.

Применение логических высказываний в программировании

Логические высказывания широко используются в программировании для построения условий и принятия решений. Например, в языке программирования Python логические операции применяются для управления выполнением кода. Рассмотрим пример:

x = 5
y = 10
if x > 0 and y > 0:
print("Оба числа положительные")
else:
print("Одно из чисел или оба неположительные")

В этом примере используется конъюнкция (`and`), которая проверяет, являются ли оба числа положительными. Если оба условия истинны, выполняется вывод текста “Оба числа положительные”. Логические операции позволяют гибко управлять программами и реализовывать сложные логические связи между переменными.

Приоритет логических операций

При работе с логическими операциями важно учитывать приоритет операций, так как это влияет на порядок их выполнения. Приоритет определяет, какая операция будет выполнена первой в сложном логическом выражении. Основной порядок приоритета следующий:

1. Отрицание (¬) — выполняется первым.
2. Конъюнкция (∧) — выполняется после отрицания.
3. Дизъюнкция (∨) — выполняется после конъюнкции.
4. Импликация (→) — выполняется после дизъюнкции.
5. Эквивалентность (↔) — выполняется в последнюю очередь.

При необходимости изменить порядок выполнения операций, используют круглые скобки, которые имеют наивысший приоритет и позволяют явно указать, какую часть выражения нужно вычислить в первую очередь.

Выводы

Логические высказывания являются основой логики и математических рассуждений. Они позволяют формулировать точные утверждения, проверять их истинность и строить сложные логические выражения. Понимание логических операций, таких как отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность, является важным для работы с программированием и анализа данных. Эти знания помогут вам не только в учебе, но и в решении различных задач в мире технологий, где логика играет ключевую роль.