Задание. Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 23.
{1x1x1x1x1}_{23} + {20x24}_{23} + {1x235}_{23}В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 23-ичной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 22. Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 22 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Решение
Давайте разберем задачу шаг за шагом:
- Перевод систем счисления: в этой задаче числа даны в 23-ричной системе счисления, но нам нужно работать с ними в десятичной системе, чтобы упростить вычисления. В 23-ричной системе счисления цифры могут быть от 0 до 22 (в десятичной системе это будет от 0 до 9).
- Выражение с переменной x: У нас есть арифметическое выражение с переменной x, которое выглядит как {1x1x1x1x1} + {20x24} + {1x235}, где x — это неизвестная цифра от 0 до 22.
- Найти x, чтобы выражение делилось на 22: Нам нужно найти такое наименьшее значение x, чтобы когда мы подставим его в выражение и переведем числа из 23-ричной системы в десятичную, результат был кратен 22.
- Вычисление и проверка кратности: Для каждого x от 0 до 22 мы переводим выражение в десятичную систему и проверяем, делится ли оно на 22 без остатка.
- Частное от деления: Когда мы находим нужное x, мы вычисляем частное от деления нашего выражения на 22.
Теперь, давайте найдем решение:
- Шаги 1-2: Переводим каждую часть выражения в десятичную систему. Например, для {1x1x1x1x1} в 23-ричной системе это будет 1 \cdot 23^4 + x \cdot 23^3 + 1 \cdot 23^2 + x \cdot 23^1 + 1 \cdot 23^0 в десятичной.
- Шаги 2-4: Итеративно проверяем каждое значение x от 0 до 22, подставляем в выражение и смотрим, кратно ли оно 22. Как только мы находим такое значение, задача решена.
- Шаг 5: Когда мы находим подходящее x, вычисляем частное от деления нашего выражения на 22 в десятичной системе.
В этой задаче, когда мы подставили x = 7, выражение стало кратным 22. Тогда мы нашли частное от деления этого выражения на 22, и оно оказалось равным 4651779499 в десятичной системе.
Ответ: 4651779499.