В 18 веке было установлено, что орбиты небесных тел на самом деле отличаются от окружности. Это открыл немецкий астроном Иоганн Кеплер (1571-1630). Кеплер установил, что положения планет, вычисленные согласно модели Коперника, и положения, полученные из наблюдений, различаются. Следовательно, надо было отказаться от предположения, что движение планет вокруг Солнца совершается по окружности. Для того, чтобы определить форму траектории и закономерности в движениях планет, он воспользовался результатами весьма точных наблюдений за движением Марса, полученными датским астрономом Тихо Браге (1546-1601). Результатом его многолетнего труда стало открытие в 1609-1619 гг. трех законов планетных движений, которые в его честь называются законы Кеплера. [latexpage]
Первый закон Кеплера
Первый закон Кеплера определяет форму орбиты планеты: орбиты каждой планеты есть эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце.
У эллипса имеется центр симметрии – точка О, две оси симметрии AA_1=2a и BB_1=2b, где a– большая ось, а b– малая полуось. Его два фокуса расположены на расстоянии OF_1=OF_2=c=a^2-b^2 от центра.
Основное свойство эллипса заключается в следующем: сумма расстояний от фокусов до произвольной точки М, является постоянной величиной, равной удвоенной длине большой полуоси:
MF_1=MF_2=2aЭксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния фокуса от центра эллипса до его большой полуоси:
e=c:aЧем больше e, тем больше вытянутость эллипса.
Если c=0 (фокусы совпадут с центром), то и e=0, значит, эллипс переходит в окружность с радиусом a.
Орбиты Венеры и Земли очень близки по форме к окружности (эксцентриситет орбиты Венеры e=0,0068, Земли e=0,0167). Орбиты других планет более вытянуты. Ближайшая к Солнцу точка орбиты называется перигелием (от греч. слов peri – “вблизи” и “helios” – “Солнце”), а наиболее удаленная точка называется афелием (от греч. aphelios – apho – “вдали” + helios – “Солнце”). Большая полуось эллипса равна среднему расстоянию планеты от Солнца.
В астрономии среднее расстояние от Земли до Солнца, то есть средний радиус земной орбиты, принят за единицу измерения расстояния в Солнечной системе и называется астрономической единицей (а.е.):
1 а.е.\approx149600000 км
Кратчайшее расстояние от Земли до Луны или до искусственного спутника Земли называется перигеем (от греч. Гея – “Земля”), а наибольшее – апогеем.
Второй закон Кеплера (закон площадей)
Второй закон Кеплера определяет неравномерность движения планеты по орбите вокруг Солнца:
Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.
Пусть площади секторов SM_1M_2 и SM_3M_4 равны. Пути, пройденные телом за одно и то же время, различны. Как видно, чем меньше радиус-вектор, тем больше длина дуги, следовательно, больше орбитальная скорость движения планеты. С максимальной скоростью планета движется в перигелии, с минимальной в афелии.
Третий закон Кеплера
Третий закон Кеплера определяет связь между орбитальным периодом планеты и ее средним расстоянием от Солнца:
Квадраты сидерических периодов обращения двух планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.
Обозначим большие полуоси двух планет через а_1 и a_2, а периоды обращения через T_1 и T_2.
Тогда
Ньютон после открытия закона всемирного тяготения обобщил третий закон Кеплера. Он доказал, что если два тела с массами M_1 и M_2 обращаются вокруг общего центра тяжести с периодом T на расстоянии a друг от друга, то справедливо соотношение
\displaystyle \frac{(M_1+M_2)\cdot T^2}{a^3}=\frac{4\pi ^2}{G}В основе этого соотношения оказалось возможным вычислить массы небесных тел. Для примера определим массу Солнца по отношению к массе Земли по известным значениям периодов и расстояний для систем Земля-Солнце и Земля-Луна. Запишем предыдущее соотношение для системы Земля-Солнце:
\displaystyle \frac{(M_{Солнца}+M_{Земли}) \cdot {T_{Солнца}}^2}{{a_{Земли}}^3}=\frac{4 \pi^2}{G},где M_{Солнца} – масса Солнца; M_{Земли} – масса Земли; T_{Земли} – период обращения Земли; a_{Земли} – полуось земной орбиты. И для системы Земля-Луна:
\displaystyle \frac{(M_{Луны}+M_{Земли}) \cdot {T_{Луны}}^2}{{a_{Луны}}^3}=\frac{4 \pi^2}{G},где M_{Луны} – масса Луны; T_{Луны} – период обращения Луны; a_{Луны} – большая полуось лунной орбиты.
Приравняв левые части выражений, пренебрегая массой спутника, по сравнению с массой центрального тела, найдем значение массы Солнца, выраженное через массу Земли:
M_{Солнца}=(\frac{T_{Луны}}{T_{Земли}})^2 \cdot (\frac{a_{Земли}}{a_{Луны}})^2 \cdot M_{Земли}Таким же образом, сравнивая данные о системе Земля-Луна и данные о системе планета – ее спутник, определяется масса любой планеты.
В дальнейшем было доказано, что законы Кеплера применимы не только к движению тел Солнечной системы, но и к движению всех систем небесных тел.
Задача на законы Кеплера
Большая полуось орбиты Марса 1,5 а.е. Вычислите период его обращения вокруг Солнца.
| Дано: | Решение |
| a_1=1,5 а.е. a_2= 1 а.е. T_2= 1 год | \displaystyle \frac{{T_1}^2}{{T_2}^2}=\frac{{a_1}^2}{{a_2}^2}; \\ T_1=\frac{\sqrt{{T_2}^2}{a_1}^3}{{a_2}^3}; \\ T_1=\frac{T_2 \cdot a_1}{a_2} \sqrt {\frac{a_1}{a_2}} \\ T_1=1,5 \sqrt{1,5} \approx 1,9 г. |
| T_1 – ? | Ответ: \approx 1,9 г. |
Спасибо.
Собственно, система Коперника, как и система Птолемея, тоже точно предсказывала положение планет на небе, но для этого круговое движение планет пришлось дополнять эпициклами. Т.е. система Коперника проще системы Птолемея, как это иногда поясняется, не была. И лишь замена кругов с эпициклами на эллипсы, в одном из фокусов которых находится Солнце, позволила точно предсказывать положение планет. Неточности, которые со временем, когда от наблюдений невооруженным глазом перешли к наблюдениям с точными инструментами, стали накапливаться, можно было объяснить взаимным влиянием планет друг на друга, что искажало форму орбиты; самое мощное влияние оказывал Юпитер. А совсем малейшие отклонения пришлось объяснять эффектами теории относительности Эйнштейна, так уточнили неправильности в движении Меркурия. Т.ч. эллипс – просто одно из приближений.
Законы Кеплера, также известные как законы движения планет Кеплера, представляют собой три закона, которые описывают движение небесных тел, таких как планеты, луны и кометы, вокруг Солнца. Эти законы были впервые опубликованы немецким астрономом Иоганном Кеплером в 1609 и 1619 годах в его трудах «Astronomia nova» и «Harmonices Mundi» соответственно.
Законы Кеплера были фундаментальным шагом к развитию законов гравитации Исаака Ньютона, который использовал их для формулировки своего закона всемирного тяготения. Законы Кеплера до сих пор широко используются для описания и предсказания движения небесных тел в Солнечной системе и за ее пределами. Эти законы помогают нам понять и предсказать движение объектов в пространстве и поведение небесных тел под действием гравитации.