Законы Кеплера

Законы Кеплера

В 18 веке было установлено, что орбиты небесных тел на самом деле отличаются от окружности. Это открыл немецкий астроном Иоганн Кеплер (1571-1630). Кеплер установил, что положения планет, вычисленные согласно модели Коперника, и положения, полученные из наблюдений, различаются. Следовательно, надо было отказаться от предположения, что движение планет вокруг Солнца совершается по окружности. Для того, чтобы определить форму траектории и закономерности в движениях планет, он воспользовался результатами весьма точных наблюдений за движением Марса, полученными датским астрономом Тихо Браге (1546-1601). Результатом его многолетнего труда стало открытие в 1609-1619 гг. трех законов планетных движений, которые в его честь называются законы Кеплера.

Первый закон Кеплера

Первый закон Кеплера определяет форму орбиты планеты: орбиты каждой планеты есть эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце.
У эллипса имеется центр симметрии — точка О, две оси симметрии AA_1=2a и BB_1=2b, где a— большая ось, а b— малая полуось. Его два фокуса расположены на расстоянии OF_1=OF_2=c=a^2-b^2 от центра. Орбита планеты с фокусами и обозначениями Основное свойство эллипса заключается в следующем: сумма расстояний от фокусов до произвольной точки М, является постоянной величиной, равной удвоенной длине большой полуоси:

    \[MF_1=MF_2=2a\]

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния фокуса от центра эллипса до его большой полуоси:

    \[e=c:a\]

Чем больше e, тем больше вытянутость эллипса. Если c=0 (фокусы совпадут с центром), то и e=0, щначит, эллипс переходит в окружность с радиусом a. Орбиты Венеры и Земли очень близки по форме к окружности (эксцентриситет орбиты Венеры e=0,0068, Земли e=0,0167). Орбиты других планет более вытянуты. Ближайшая к Солнцу точка орбиты называется перигелием (от греч. слов peri — «вблизи» и «helios» — «Солнце»), а наиболее удаленная точка называется афелием (от греч. aphelios — apho — «вдали» + helios — «Солнце»). Большая полуось эллипса равна среднему расстоянию планеты от Солнца. В астрономии среднее расстояние от Земли до Солнца, то есть средний радиус земной орбиты, принят за единицу измерения расстояния в Солнечной системе и называется астрономической единицей (а.е.): 1 а.е.\approx149600000 км Кратчайшее расстояние от Земли до Луны или до искусственного спутника Земли называется перигеем (от греч. Гея — «Земля»), а наибольшее — апогеем.

Второй закон Кеплера (закон площадей)

Второй закон Кеплера определяет неравномерность движения планеты по орбите вокруг Солнца:
Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.
Пусть площади секторов SM_1M_2 и SM_3M_4 равны. Пути, пройденные телом за одно и то же время, различны. Как видно, чем меньше радиус-вектор, тем больше длина дуги, следовательно, больше орбитальная скорость движения планеты. С максимальной скоростью планета движется в перигелии, с минимальной в афелии. Второй закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера определяет связь между орбитальным периодом планеты и ее средним расстоянием от Солнца:
Квадраты сидерических периодов обращения двух планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.
Обозначим большие полуоси двух планет через а_1 и a_2, а периоды обращения через T_1 и T_2. Тогда

    \[\displaystyle \frac{{T_1}^2}{{T_2}^2}=\frac{{a_1}^2}{{a_2}^2}\]

. Ньютон после открытия закона всемирного тяготения обобщил третий закон Кеплера. Он доказал, что если два тела с массами M_1 и M_2 обращаются вокруг общего центра тяжести с периодом T на расстоянии a друг от друга, то справедливо соотношение

    \[\displaystyle \frac{(M_1+M_2)\cdot T^2}{a^3}=\frac{4\pi ^2}{G}\]

В основе этого соотношения оказалось возможным вычислить массы небесных тел. Для примера определим массу Солнца по отношению к массе Земли по известным значениям периодов и расстояний для систем Земля-Солнце и Земля-Луна. Запишем предыдущее соотношение для системы Земля-Солнце:

    \[\displaystyle \frac{(M_{\odot}+M_{\oplus}) \cdot {T_{\odot}}^2}{{a_{\oplus}}^3}=\frac{4 \pi^2}{G},\]

где M_{\odot} — масса Солнца; M_{\oplus} — масса Земли; T_{\oplus} — период обращения Земли; a_{\opus} — полуось земной орбиты. И для системы Земля-Луна:

    \[\displaystyle \frac{(M_{\leftmoon}+M_{\oplus}) \cdot {T_{\leftmoon}}^2}{{a_{\leftmoon}}^3}=\frac{4 \pi^2}{G},\]

где M_{\leftmoon} — масса Луны; T_{\leftmoon} — период обращения Луны; a_{\leftmoon} — большая полуось лунной орбиты. Приравняв левые части выражений, пренебрегая массой спутника, по сравнению с массой центрального тела, найдем значение массы Солнца, выраженное через массу Земли:

    \[M_{\odot}=(\frac{T_{\leftmoon}}{T_{\oplus}})^2 \cdot (\frac{a_{\oplus}}{a_{\leftmoon}})^2 \cdot M_{\oplus}\]

Таким же образом, сравнивая данные о системе Земля-Луна и данные о системе планета — ее спутник, определяется масса любой планеты. В дальнейшем было доказано, что законы Кеплера применимы не только к движению тел Солнечной системы, но и к движению всех систем небесных тел.

Задача на законы Кеплера

Большая полуось орбиты Марса 1,5 а.е. Вычислите период его обращения вокруг Солнца.
Дано: Решение
a_1=1,5 а.е. a_2= 1 а.е. T_2= 1 год \displaystyle \frac{{T_1}^2}{{T_2}^2}=\frac{{a_1}^2}{{a_2}^2}; T_1=\frac{\sqrt{{T_2}^2}{a_1}^3}{{a_2}^3}; T_1=\frac{T_2 \cdot a_1}{a_2} \sqrt {\frac{a_1}{a_2}}; T_1=1,5 \sqrt{1,5} \approx 1,9 г.
T_1 — ? Ответ: \approx 1,9 г.
Оцените статью
( 3 оценки, среднее 5 из 5 )
Литература, математика, русский язык, физика, география, история, астрономия и обществознание
Подписаться
Уведомить о
1 Комментарий
Старые
Новые Популярные
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Мира

Спасибо.