Законы Кеплера - законы движения планет

В 18 веке было установлено, что орбиты небесных тел на самом деле отличаются от окружности. Это открыл немецкий астроном Иоганн Кеплер (1571-1630). Кеплер установил, что положения планет, вычисленные согласно модели Коперника, и положения, полученные из наблюдений, различаются. Следовательно, надо было отказаться от предположения, что движение планет вокруг Солнца совершается по окружности. Для того, чтобы определить форму траектории и закономерности в движениях планет, он воспользовался результатами весьма точных наблюдений за движением Марса, полученными датским астрономом Тихо Браге (1546-1601). Результатом его многолетнего труда стало открытие в 1609-1619 гг. трех законов планетных движений, которые в его честь называются законы Кеплера.

Содержание

Первый закон Кеплера

Первый закон Кеплера определяет форму орбиты планеты: орбиты каждой планеты есть эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце.

У эллипса имеется центр симметрии — точка О, две оси симметрии $AA_1=2a$ и $BB_1=2b$ , где $a$ — большая ось, а $b$ — малая полуось. Его два фокуса расположены на расстоянии $OF_1=OF_2=c=a^2-b^2$ от центра.

Основное свойство эллипса заключается в следующем: сумма расстояний от фокусов до произвольной точки М, является постоянной величиной, равной удвоенной длине большой полуоси:

$MF_1=MF_2=2a$

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния фокуса от центра эллипса до его большой полуоси:

$e=c:a$

Чем больше $e$ , тем больше вытянутость эллипса. Если $c=0$ (фокусы совпадут с центром), то и $e=0$ , щначит, эллипс переходит в окружность с радиусом $a$ .

Орбиты Венеры и Земли очень близки по форме к окружности (эксцентриситет орбиты Венеры $e=0,0068$ , Земли $e=0,0167$ ). Орбиты других планет более вытянуты. Ближайшая к Солнцу точка орбиты называется перигелием (от греч. слов peri — «вблизи» и «helios» — «Солнце»), а наиболее удаленная точка называется афелием (от греч. aphelios — apho — «вдали» + helios — «Солнце»). Большая полуось эллипса равна среднему расстоянию планеты от Солнца.

В астрономии среднее расстояние от Земли до Солнца, то есть средний радиус земной орбиты, принят за единицу измерения расстояния в Солнечной системе и называется астрономической единицей (а.е.):

1 а.е. $\approx$ 149600000 км

Кратчайшее расстояние от Земли до Луны или до искусственного спутника Земли называется перигеем (от греч. Гея — «Земля»), а наибольшее — апогеем.

Второй закон Кеплера (закон площадей)

Второй закон Кеплера определяет неравномерность движения планеты по орбите вокруг Солнца:

Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.

Пусть площади секторов $SM_1M_2$ и $SM_3M_4$ равны. Пути, пройденные телом за одно и то же время, различны. Как видно, чем меньше радиус-вектор, тем больше длина дуги, следовательно, больше орбитальная скорость движения планеты. С максимальной скоростью планета движется в перигелии, с минимальной в афелии.

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера определяет связь между орбитальным периодом планеты и ее средним расстоянием от Солнца:

Квадраты сидерических периодов обращения двух планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Обозначим большие полуоси двух планет через $а_1$ и $a_2$ , а периоды обращения через $T_1$ и $T_2$ .
Тогда

$\displaystyle \frac{{T_1}^2}{{T_2}^2}=\frac{{a_1}^2}{{a_2}^2}$

Ньютон после открытия закона всемирного тяготения обобщил третий закон Кеплера. Он доказал, что если два тела с массами $M_1$ и $M_2$ обращаются вокруг общего центра тяжести с периодом $T$ на расстоянии $a$ друг от друга, то справедливо соотношение

$\displaystyle \frac{(M_1+M_2)\cdot T^2}{a^3}=\frac{4\pi ^2}{G}$

В основе этого соотношения оказалось возможным вычислить массы небесных тел. Для примера определим массу Солнца по отношению к массе Земли по известным значениям периодов и расстояний для систем Земля-Солнце и Земля-Луна. Запишем предыдущее соотношение для системы Земля-Солнце:

$\displaystyle \frac{(M_{\odot}+M_{\oplus}) \cdot {T_{\odot}}^2}{{a_{\oplus}}^3}=\frac{4 \pi^2}{G},$

где $M_{\odot}$ — масса Солнца; $M_{\oplus}$ — масса Земли; $T_{\oplus}$ — период обращения Земли; $a_{\opus}$ — полуось земной орбиты. И для системы Земля-Луна:

$\displaystyle \frac{(M_{\leftmoon}+M_{\oplus}) \cdot {T_{\leftmoon}}^2}{{a_{\leftmoon}}^3}=\frac{4 \pi^2}{G},$

где $M_{\leftmoon}$ — масса Луны; $T_{\leftmoon}$ — период обращения Луны; $a_{\leftmoon}$ — большая полуось лунной орбиты.

Приравняв левые части выражений, пренебрегая массой спутника, по сравнению с массой центрального тела, найдем значение массы Солнца, выраженное через массу Земли:

$M_{\odot}=(\frac{T_{\leftmoon}}{T_{\oplus}})^2 \cdot (\frac{a_{\oplus}}{a_{\leftmoon}})^2 \cdot M_{\oplus}$

Таким же образом, сравнивая данные о системе Земля-Луна и данные о системе планета — ее спутник, определяется масса любой планеты.

В дальнейшем было доказано, что законы Кеплера применимы не только к движению тел Солнечной системы, но и к движению всех систем небесных тел.

Задача на законы Кеплера

Большая полуось орбиты Марса 1,5 а.е. Вычислите период его обращения вокруг Солнца.

Дано:

Решение

$a_1$ =1,5 а.е.

$a_2$ = 1 а.е.

$T_2$ = 1 год

$\displaystyle \frac{{T_1}^2}{{T_2}^2}=\frac{{a_1}^2}{{a_2}^2}$ ; $T_1=\frac{\sqrt{{T_2}^2}{a_1}^3}{{a_2}^3}$ ;

$T_1=\frac{T_2 \cdot a_1}{a_2} \sqrt {\frac{a_1}{a_2}}$ ;

$T_1$ =1,5 $\sqrt{1,5} \approx 1,9$ г.

$T_1$ — ?

Ответ: $\approx$ 1,9 г.