Законы Кеплера

Законы Кеплера

В 18 веке было установлено, что орбиты небесных тел на самом деле отличаются от окружности. Это открыл немецкий астроном Иоганн Кеплер (1571-1630). Кеплер установил, что положения планет, вычисленные согласно модели Коперника, и положения, полученные из наблюдений, различаются. Следовательно, надо было отказаться от предположения, что движение планет вокруг Солнца совершается по окружности. Для того, чтобы определить форму траектории и закономерности в движениях планет, он воспользовался результатами весьма точных наблюдений за движением Марса, полученными датским астрономом Тихо Браге (1546-1601). Результатом его многолетнего труда стало открытие в 1609-1619 гг. трех законов планетных движений, которые в его честь называются законы Кеплера. [latexpage]

Первый закон Кеплера

Первый закон Кеплера определяет форму орбиты планеты: орбиты каждой планеты есть эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце.

У эллипса имеется центр симметрии — точка О, две оси симметрии AA_1=2a и BB_1=2b, где a— большая ось, а b— малая полуось. Его два фокуса расположены на расстоянии OF_1=OF_2=c=a^2-b^2 от центра.

Орбита планеты с фокусами и обозначениями

Основное свойство эллипса заключается в следующем: сумма расстояний от фокусов до произвольной точки М, является постоянной величиной, равной удвоенной длине большой полуоси:

MF_1=MF_2=2a

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния фокуса от центра эллипса до его большой полуоси:

e=c:a

Чем больше e, тем больше вытянутость эллипса.

Если c=0 (фокусы совпадут с центром), то и e=0, значит, эллипс переходит в окружность с радиусом a.

Орбиты Венеры и Земли очень близки по форме к окружности (эксцентриситет орбиты Венеры e=0,0068, Земли e=0,0167). Орбиты других планет более вытянуты. Ближайшая к Солнцу точка орбиты называется перигелием (от греч. слов peri — «вблизи» и «helios» — «Солнце»), а наиболее удаленная точка называется афелием (от греч. aphelios — apho — «вдали» + helios — «Солнце»). Большая полуось эллипса равна среднему расстоянию планеты от Солнца.

В астрономии среднее расстояние от Земли до Солнца, то есть средний радиус земной орбиты, принят за единицу измерения расстояния в Солнечной системе и называется астрономической единицей (а.е.):

1 а.е.\approx149600000 км

Кратчайшее расстояние от Земли до Луны или до искусственного спутника Земли называется перигеем (от греч. Гея — «Земля»), а наибольшее — апогеем.

Второй закон Кеплера (закон площадей)

Второй закон Кеплера определяет неравномерность движения планеты по орбите вокруг Солнца:

Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.

Пусть площади секторов SM_1M_2 и SM_3M_4 равны. Пути, пройденные телом за одно и то же время, различны. Как видно, чем меньше радиус-вектор, тем больше длина дуги, следовательно, больше орбитальная скорость движения планеты. С максимальной скоростью планета движется в перигелии, с минимальной в афелии.

Второй закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера определяет связь между орбитальным периодом планеты и ее средним расстоянием от Солнца:

Квадраты сидерических периодов обращения двух планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Обозначим большие полуоси двух планет через а_1 и a_2, а периоды обращения через T_1 и T_2.
Тогда

\displaystyle \frac{{T_1}^2}{{T_2}^2}=\frac{{a_1}^2}{{a_2}^2}.

Ньютон после открытия закона всемирного тяготения обобщил третий закон Кеплера. Он доказал, что если два тела с массами M_1 и M_2 обращаются вокруг общего центра тяжести с периодом T на расстоянии a друг от друга, то справедливо соотношение

\displaystyle \frac{(M_1+M_2)\cdot T^2}{a^3}=\frac{4\pi ^2}{G}

В основе этого соотношения оказалось возможным вычислить массы небесных тел. Для примера определим массу Солнца по отношению к массе Земли по известным значениям периодов и расстояний для систем Земля-Солнце и Земля-Луна. Запишем предыдущее соотношение для системы Земля-Солнце:

\displaystyle \frac{(M_{Солнца}+M_{Земли}) \cdot {T_{Солнца}}^2}{{a_{Земли}}^3}=\frac{4 \pi^2}{G},

где M_{Солнца} — масса Солнца; M_{Земли} — масса Земли; T_{Земли} — период обращения Земли; a_{Земли} — полуось земной орбиты. И для системы Земля-Луна:

\displaystyle \frac{(M_{Луны}+M_{Земли}) \cdot {T_{Луны}}^2}{{a_{Луны}}^3}=\frac{4 \pi^2}{G},

где M_{Луны} — масса Луны; T_{Луны} — период обращения Луны; a_{Луны} — большая полуось лунной орбиты.

Приравняв левые части выражений, пренебрегая массой спутника, по сравнению с массой центрального тела, найдем значение массы Солнца, выраженное через массу Земли:

M_{Солнца}=(\frac{T_{Луны}}{T_{Земли}})^2 \cdot (\frac{a_{Земли}}{a_{Луны}})^2 \cdot M_{Земли}

Таким же образом, сравнивая данные о системе Земля-Луна и данные о системе планета — ее спутник, определяется масса любой планеты.

В дальнейшем было доказано, что законы Кеплера применимы не только к движению тел Солнечной системы, но и к движению всех систем небесных тел.

Задача на законы Кеплера

Большая полуось орбиты Марса 1,5 а.е. Вычислите период его обращения вокруг Солнца.

Дано: Решение
a_1=1,5 а.е. a_2= 1 а.е. T_2= 1 год \displaystyle \frac{{T_1}^2}{{T_2}^2}=\frac{{a_1}^2}{{a_2}^2}; \\ T_1=\frac{\sqrt{{T_2}^2}{a_1}^3}{{a_2}^3}; \\ T_1=\frac{T_2 \cdot a_1}{a_2} \sqrt {\frac{a_1}{a_2}} \\ T_1=1,5 \sqrt{1,5} \approx 1,9 г.
T_1 — ? Ответ: \approx 1,9 г.
Спасибо:
( 4 оценки, среднее 5 из 5 )
Литература, математика, русский язык, физика, химия, география, история, астрономия, информатика и обществознание
Подписаться
Уведомить о
3 комментариев
Старые
Новые Популярные
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Мира

Спасибо.

lisa-lena-2

Собственно, система Коперника, как и система Птолемея, тоже точно предсказывала положение планет на небе, но для этого круговое движение планет пришлось дополнять эпициклами.  Т.е. система Коперника проще системы Птолемея, как это иногда поясняется, не была. И лишь замена кругов с эпициклами на эллипсы, в одном из фокусов которых находится Солнце, позволила точно предсказывать положение планет. Неточности, которые со временем, когда от наблюдений невооруженным глазом перешли к наблюдениям с точными инструментами, стали накапливаться, можно было объяснить взаимным влиянием планет друг на друга, что искажало форму орбиты; самое мощное влияние оказывал Юпитер. А совсем малейшие отклонения пришлось объяснять эффектами теории относительности Эйнштейна, так уточнили неправильности в движении Меркурия. Т.ч. эллипс – просто одно из приближений.   

Олеся

Законы Кеплера, также известные как законы движения планет Кеплера, представляют собой три закона, которые описывают движение небесных тел, таких как планеты, луны и кометы, вокруг Солнца. Эти законы были впервые опубликованы немецким астрономом Иоганном Кеплером в 1609 и 1619 годах в его трудах «Astronomia nova» и «Harmonices Mundi» соответственно.

  1. Первый закон гласит, что орбита планеты представляет собой эллипс с Солнцем в одном из двух фокусов, а не в центре.
  2. Второй закон, известный как «Закон площадей», гласит, что линия, соединяющая планету и Солнце, отмечает равные площади за равные промежутки времени.
  3. Третий закон гласит, что квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу большой полуоси ее орбиты, или T^2 ~ R^3.

Законы Кеплера были фундаментальным шагом к развитию законов гравитации Исаака Ньютона, который использовал их для формулировки своего закона всемирного тяготения. Законы Кеплера до сих пор широко используются для описания и предсказания движения небесных тел в Солнечной системе и за ее пределами. Эти законы помогают нам понять и предсказать движение объектов в пространстве и поведение небесных тел под действием гравитации.

Последний раз редактировалось 22 дней назад Олеся ем