Задача. Монету подбрасывают пять раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более трех раз.
Решение
Чтобы найти вероятность того, что герб выпадет не более трех раз при пяти подбрасываниях монеты, нам нужно рассмотреть все возможные исходы, при которых выпадет 0, 1, 2 или 3 герба. Каждый бросок монеты является независимым событием, и каждый раз есть два возможных исхода: герб (H) или решка (T). Общее количество возможных исходов при пяти подбрасываниях — это 2^5 = 32 .
Для каждого из случаев (0, 1, 2, 3 герба) мы можем использовать биномиальное распределение для расчета вероятности. Формула для биномиальной вероятности:
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}где:
— P(X = k) — вероятность того, что событие произойдет k раз,
— n — общее количество испытаний,
— k — количество успехов (выпадения герба),
— p — вероятность успеха в одном испытании (0,5 для монеты),
— \binom{n}{k} — число сочетаний из n по k , которое вычисляется как \frac{n!}{k!(n-k)!} .
Рассчитаем вероятности для каждого случая отдельно:
1. Ни одного герба (0 гербов):
P(X = 0) = \binom{5}{0} (0,5)^0 (1-0,5)^{5-0} = 1 \cdot 1 \cdot (0,5)^5
2. Один герб (1 герб):
P(X = 1) = \binom{5}{1} (0,5)^1 (1-0,5)^{5-1} = 5 \cdot 0,5 \cdot (0,5)^4
3. Два герба (2 герба):
P(X = 2) = \binom{5}{2} (0,5)^2 (1-0,5)^{5-2} = 10 \cdot (0,5)^2 \cdot (0,5)^3
4. Три герба (3 герба):
P(X = 3) = \binom{5}{3} (0,5)^3 (1-0,5)^{5-3} = 10 \cdot (0,5)^3 \cdot (0,5)^2
Теперь сложим эти вероятности, чтобы получить вероятность выпадения герба не более трех раз:
P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)Подставим вычисленные значения:
P(X \leq 3) = (0,5)^5 + 5 \cdot (0,5)^5 + 10 \cdot (0,5)^5 + 10 \cdot (0,5)^5 \\ P(X \leq 3) = (1 + 5 + 10 + 10) \cdot (0,5)^5 \\ P(X \leq 3) = 26 \cdot (0,5)^5 \\ P(X \leq 3) = 26 \cdot \frac{1}{32} \\ P(X \leq 3) = \frac{26}{32} \\ P(X \leq 3) = \frac{13}{16}=0,8125Таким образом, вероятность того, что герб выпадет не более трех раз при пяти подбрасываниях монеты, равна 0,8125 .
Ответ: 0,8125.