Разложите на множители x^2-y^2-x-y и все методы разложения многочлена на множители

Задание: разложите на множители x^2-y^2-x-y

Решение:

Выражение $x ^ 2 - y ^ 2 - x - y$ можно разложить на множители, используя разность квадратов и способ вынесения общего множителя за скобки.

Во-первых, мы можем расписать разность квадратов: $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$

Теперь мы можем заменить разность оставшихся членов их суммой, если вынесем за скобки (-1): $-x - y = (-1)(x + y)$

Собрав все вместе, мы получаем: $x^2 - y^2 - x - y = (x + y)(x - y) + (-1)(x + y) = (x+y)(x-y-1)$

Таким образом, выражение $x^2 - y^2 - x - y$ можно представить как $(x+y)(x-y-1)$

Ответ: $(x+y)(x-y-1)$

Содержание

Способы разложения на множители

Разложение на множители (факторизация) — это процесс разбиения математического выражения на более простые выражения, которые можно перемножить, чтобы получить исходное выражение. Существует несколько методов разложения на множители, каждый из которых можно использовать для различных типов выражений.

Вынесение общего множителя за скобки

Общий множитель — это наибольшее число, на которое делятся все члены выражения.

Чтобы выделить его нужно найти наибольший общий делитель всех слагаемых выражения.

Например, чтобы разложить выражение $12x^2 + 18x$ , мы возьмем общий множитель равный $6x$ .

Итак, делим $12x^2$ и $18x$ на $6x$ .

Получаем $12x^2 = 2x^2 \cdot 6x$ и $18x = 6x \cdot 3$ .

Действительно мы можем умножить $6x$ на $2x$ и на $3$ , чтобы получить последовательно $12x^2$ и $18x$ . Вынесем $6x$ за скобки: $6x(2x + 3)$ .

Окончательно получаем: $12x^2 + 18x=6x(2x+3)$

Группирование подобных слагаемых

Разложение по группам или группировка: этот метод используется для разложения многочленов с четырьмя или более членами. Чтобы разложить по группе, сгруппируйте какие то два или три члена с одинаковыми переменными в одну группы и другие слагаемые, сходные (или подобные) по такому же признаку (с одинаковыми переменными) в другую группу. Затем вынесите общий множитель каждой группы.

Например, чтобы разложить на множители выражение $2xy^2+3y^2+8xy+12y$ . Мы можем сгруппировать первые два члена $2xy^2+3y^2$ , и последние два члена $8xy+12y$ . Теперь мы можем выделить общий множитель в каждой группе. В первой группе он равен $y^2$ , поэтому мы получаем $y^2(2x +3)$ , а во второй группе он равен $4y$ , поэтому мы получаем $4y (2x + 3)$ . Теперь мы можем объединить эти два фактора: $2xy^2+3y^2+8xy+12y=y^2(2x +3)+4y (2x + 3)=(2x+3)(y^2+4y)$

Разложение на множители с использованием формул сокращённого умножения

С помощью формулы разности квадратов

Используется для разложения на множители многочленов вида $a^2 - b^2$ . Для разложения многочлена с помощью этой формулы мы используем тождество $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ . Например, чтобы разложить на множители выражение $x^2 - 9$ мы запишем $(x + 3)(x - 3)$ .

С использованием суммы и разности кубов

Этот метод используется для выражений вида $a^3 + b^3$ или $a^3 - b^3$ . Для разложения на множители по сумме и разности кубов мы используем тождества $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ и $a^3 - b^3 = (a - b )(a^2 + ab + b^2)$ .

Например, мы можем разложить на множители выражение $a^3 + 27$ .

Получим: $a^3 +27 = (a + 3 )(a^2 - 3a + 9)$

С помощью формулы квадрат разности или квадрат суммы

Например, чтобы разложить на множители выражение $x^2 + 2x + 1$ . Мы можем использовать формулу сокращённого умножения $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$ .

Пример: дан многочлен $4x^2 + 12x + 9$ . Это полный квадрат суммы чисел 2x и 3.

Тогда разложение на множители будет таким:

4x^2 + 12x + 9=(2x+3)^2

Разложение на множители квадратичного выражения

Дополнить до квадрата

Разложение на множители с использованием метода «дополнить до квадрата»: этот метод используется для разложения многочленов вида $ax^2 + bx + c$ , где a, b и c — числа. Чтобы факторизовать, завершая квадрат, мы добавляем и вычитаем квадрат половины коэффициента x, затем выносим квадратный корень из результата. Например, чтобы разложить на множители выражение $x^2 + 6x + 13$ . Мы можем представить это выражение как $(х + 3) ^ 2-4$ и опять же мы получаем разность квадратов:

x^2 + 6x + 13=(х + 3) ^ 2-4=(х + 3-2)(x+3+2)=(x+1)(x+5)

Метод деления

Разложение на множители с использованием синтетического деления: этот метод используется для факторизации многочленов путем деления многочлена на линейный множитель (x — a), где a — число. Результат — частное и остаток. Частное представляет собой факторизованный полином, а остаток равен нулю. Этот метод полезен, когда мы хотим проверить, является ли определенный линейный множитель корнем многочлена.

Пример

Давайте рассмотрим пример разложения на множители полинома с использованием синтетического деления:

Разложите на множители полином $2x^3 + 5x^2 - 3x - 4$ .

Шаг 1: Найдите один из корней полинома. Попробуем $x = 1$ .

Шаг 2: Разделим многочлен на $(x-1)$ . Получим:

Деление многочлена на многочлен столбиком

Шаг 3: Теперь чтобы получить исходный многочлен — мы должны умножить частное $2x^2+7x+4$ не делитель $x-1$ . И получим:

2x^3 + 5x^2 - 3x - 4=(2x^2+7x+4)(x-1)

Ответ: $2x^3 + 5x^2 - 3x - 4=(2x^2+7x+4)(x-1)$ .

Формула $a(x-x_1)(x-x_2)$

Разложение на множители по квадратичной формуле. Этот метод используется для разложения на множители выражений вида $ax^2 + bx + c$ , где a, b и c — числа, а $x_1, x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c=0$ .

Рассмотрим пример:

Разложите многочлен $5x^2 - 5x - 10$ на множители.

Решение: приравняем многочлен к нулю и решим полученное уравнение:

5x^2 - 5x - 10=0

Разделим левую и правую части на 5:

x^2 - x - 2=0

Полученное уравнение решаем обычным методом через дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-2) = 1 + 8 = 9

Тогда корни уравнения будут:

\displaystyle x_1=\frac{1-3}{2}=-1

\displaystyle x_2=\frac{1+3}{2}=2

Подставляем данные значения в формулу $a(x-x_1)(x-x_2)$ , получаем $5(x-x_1)(x-x_2)=5(x+1)(x-2)$ .

Ответ: $5x^2 - 5x - 10=5(x+1)(x-2)$

Разложите на множители x^2-y^2-x-y и примеры методов разложения многочленов на множители