Дискриминант

Исследуем различные методики решения квадратных уравнений. В этой статье мы изучим, что такое дискриминант, и освоим применение дискриминанта для решения квадратных уравнений по формуле. Дискриминант квадратного уравнения начинают изучать в курсе алгебры в 8 классе общеобразовательной школы.

Определение

Квадратное уравнение определяется как математическое выражение — уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где x обозначает неизвестную величину, а a, b и c представляют собой реальные числа с условием, что a не равно нулю. Целью решения такого уравнения является нахождение всех возможных значений x или установление их отсутствия. Для нахождения решения уравнения существует несколько методов:

• применение метода выделения полного квадрата;
• использование формулы, основанной на дискриминанте;
• применение формул теоремы Виета;
• разложение квадратного трехчлена на множители;
• графический метод и другие.

Выбор метода решения обычно зависит от личных предпочтений и задачи. Тем не менее, формулы теоремы Виета и методы решения квадратных уравнений часто оказываются предпочтительными из-за их практичности и эффективности.

В алгебре под дискриминантом понимается полином, сформированный на основе коэффициентов квадратичной функции. Дискриминант — это инструмент, позволяющий выяснить количество решений у соответствующего уравнения и обеспечить их поиск.

Раздел	Информация
Дискриминант и график квадратной функции	дискриминант — это ключ к пониманию, сколько раз график квадратичной функции пересекает ось X. Значения дискриминанта позволяют определить количество точек пересечения: D > 0: график пересекает ось X в двух точках; D = 0: график пересекает ось X в одной точке; D < 0: график не имеет точек пересечения с осью X.
Биквадратные уравнения	дискриминант — это инструмент для решения биквадратных уравнений вида ax^4 + bx^2 + c = 0. Для этого биквадратное уравнение преобразуется в квадратное с помощью введения новой переменной, что позволяет использовать стандартные методы решения.
Формула корней квадратного уравнения при четном b	Когда b — четное число, для уравнения ax^2 + bx + c = 0 используется дискриминант D/4. В таком случае применяются специализированные формулы для нахождения корней квадратного уравнения, учитывая четность коэффициента b.

Формулы дискриминанты и корней уравнения

Для нахождения дискриминанта и корней квадратного уравнения используются следующие формулы:

1. Формула дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

Здесь:

D – дискриминант,
a, b, c – коэффициенты квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0.

2. Формулы для нахождения корней квадратного уравнения (зависят от значения дискриминанта):

• Корни если дискриминант больше нуля.
  Если D > 0:
  \displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
• Корни если дискриминант равен нулю:
  Если дискриминант равен нулю D = 0:
  \displaystyle x = -\frac{b}{2a}
• Корни если дискриминант меньше нуля
  Если D < 0:
  Уравнение не имеет вещественных корней.

В этих формулах:

x_{1,2} – корни квадратного уравнения, a, b, c – коэффициенты квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0, D – дискриминант, найденный по формуле выше.

А если дискриминант равен 1? 1 — это положительное число — в этом случае корней у уравнения будет 2.

Формула дискриминанта, если второй коэффициент уравнения четный

Если второй коэффициент b квадратного уравнения является четным числом, то удобно использовать следующую форму формулу дискриминанта:

Пусть b = 2k, где k — целое число. Тогда квадратное уравнение принимает вид ax^2 + 2kx + c = 0.

В этом случае формула дискриминанта модифицируется следующим образом:

D' = k^2 - ac 

Здесь D'— это модифицированный дискриминант для случая, когда второй коэффициент квадратного уравнения четен. Эта форма дискриминанта упрощает вычисления и делает их более наглядными.

Корни квадратного уравнения при четном втором коэффициенте

Если b = 2k, то квадратное уравнение имеет вид ax^2 + 2kx + c = 0.

Модифицированный дискриминант: D' = k^2 - ac.

Корни уравнения:

• Если D' > 0:
  \displaystyle x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D'}}{a}
• Если D' = 0:
  \displaystyle x = \frac{-k}{a}
• Если D' < 0:
  Уравнение не имеет вещественных корней.

Примеры решения квадратных уравнений

Пример 1

Рассмотрим квадратное уравнение \(x^2 — 6x + 9 = 0\).

Чтобы решить его, сначала найдем дискриминант:
\[D = b^2 — 4ac = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 — 36 = 0\]

Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня):
\[x = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2 \cdot 1} = 3\]

Таким образом, корень данного квадратного уравнения равен 3.

Пример 2

Рассмотрим еще одно квадратное уравнение \(2x^2 — 8x + 6 = 0\).

Для решения этого уравнения найдем дискриминант:
\[D = b^2 — 4ac = (-8)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 64 — 48 = 16\]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных вещественных корня:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{8 \pm 4}{4}\]

Отсюда получаем два корня:
\[x_1 = \frac{8 + 4}{4} = 3\] \[x_2 = \frac{8 — 4}{4} = 1\]

Таким образом, корни данного квадратного уравнения равны 1 и 3.

Пример 3

Рассмотрим следующее квадратное уравнение \(3x^2 — 9x — 18 = 0\).

Для решения этого уравнения найдем дискриминант:
\[D = b^2 — 4ac = (-9)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-18) = 81 + 216 = 297\]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных вещественных корня:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{297}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}\]

Отсюда получаем два корня:
\[x_1 = \frac{3 — \sqrt{33}}{2}\] \[x_2 = \frac{3 + \sqrt{33}}{2}\]

Таким образом, корни данного квадратного уравнения выражаются через квадратные корни и равны \(\frac{3 — \sqrt{33}}{2}\) и \(\frac{3 + \sqrt{33}}{2}\).

Пример 4

Для квадратного уравнения \(5x^2 + 4x — 3 = 0\) и его решения с использованием модифицированного дискриминанта \(D’\):

1. Поскольку \(b\) (второй коэффициент) является четным числом, мы можем представить его как \(2k\), где \(k = 2\).
2. Вычисляем модифицированный дискриминант \(D’\):
\[D’ = k^2 — ac = 2^2 — 5 \cdot (-3) = 4 + 15 = 19\]

3. Используем \(D’\) для нахождения корней уравнения:
\(x_1 = \frac{-k + \sqrt{D’}}{a} = \frac{-2 + \sqrt{19}}{5}\)
\(x_2 = \frac{-k — \sqrt{D’}}{a} = \frac{-2 — \sqrt{19}}{5}\)

Таким образом, корни квадратного уравнения \(5x^2 + 4x — 3 = 0\) равны \(\frac{-2 + \sqrt{19}}{5}\) и \(\frac{-2 — \sqrt{19}}{5}\).

Пример 5

Рассмотрим квадратное уравнение \(4x^2 + 2x + 5 = 0\).

Для этого уравнения дискриминант:
\[D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4 \cdot 4 \cdot 5 = 4 — 80 = -76\]

Так как дискриминант меньше нуля (\(D < 0\)), уравнение не имеет вещественных корней, но имеет два комплексных корня (изучается в углубленном курсе математики). Они рассчитываются следующим образом:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{-76}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{19}i}{4}\]

Таким образом, корни квадратного уравнения \(4x^2 + 2x + 5 = 0\) равны \(-\frac{1}{4} — \frac{\sqrt{19}i}{4}\) и \(-\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{19}i}{4}\).

Пример 6

Решим квадратное уравнение \(y = x^2 — 3x + 2 = 0\) .

Квадратное уравнение в стандартной форме: \(ax^2 + bx + c = 0\).

Для нашего случая: \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\).

Решим это уравнение:

1. Находим дискриминант:
\[D = b^2 — 4ac = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\]

2. Так как \(D > 0\), у уравнения есть два различных вещественных корня:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 1}{2}\]

Тогда:
\[x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2\] \[x_2 = \frac{3 — 1}{2} = 1\]

Итак, корни уравнения \(y = x^2 — 3x + 2\) равны \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 1\).