Площадь круга

Определим площадь круга, если нам известны радиус круга, диаметр, длина окружности круга. Для того, чтобы мы могли рассчитать площадь круга, давайте вспомним формулы, по которым площадь рассчитывается.

Для начала уточним несколько понятий:

• Круг – множество точек плоскости, удаленных от заданной точки этой плоскости (центр круга) на расстояние, которое не превышает радиус круга.
• Окружность круга — его граница. Множество точек на плоскости равноудаленных от заданной точки, которую называют центром круга. Простыми словами можно описать окружность замкнутой линией, описывающей круг, наподобие бублика или шины от машины.
• Площадь любого круга — размер плоскости, ограниченной окружностью круга.
• Единицей измерения площади круга является квадратная единица его длины (м², см², км², ед²).
• Диаметр круга — отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр круга.
• Радиус круга — это отрезок, соединяющий центр круга и любую точку на его окружности.

Окружность и круг

Многие школьники путают окружность и круг. Окружность — это линия! А круг — это плоскость. Сравнить окружность можно с обручем, с бубликом, с оправой от очков. А круг — это, например, круглый оладушек или блинчик, блюдце, крышки от банки. Длина окружности измеряется в единицах длины, а площадь любого блинчика, оладушка и вообще круга — в квадратных единицах длины. Ниже мы это с вами рассмотрим подробнее.
Вот известные части круга:

В этой статье мы не будем рассматривать такие части круга, как хорда, сектор или сегмент. Но общее представление дадим. Важно, когда вы определяете что перед вами — круг или окружность, вы можете посмотреть на нашу инфографику. Как видно — окружность определяется замкнутой линией, описывающей круг. В детстве мы так начинали рисовать солнце — сначала рисовали эту линию. Получали окружность. Затем закрашивали область внутри линии — получали круг.
А теперь рассмотрим формулы для того, чтобы найти площадь круга.

Площадь круга по известному радиусу

Издавна человек наблюдал круглые объекты природы: солнце, луна, капли росы. Человек восхищался этими творениями природы. Он подражал им, воплощая в архитектуре и в живописи. Однажды пришла пора выяснить геометрические свойства круга. Сегодня мы с вами изучим формулы, по которым определяется его площадь. Выше мы уже выяснили разницу между понятиями круга и его окружностью. Между радиусом и диаметром.

Итак, площадь любого круга через радиус определяется по формуле: \displaystyle S=\pi R^2, где \displaystyle R — радиус круга. Словами можно сказать так «площадь круга равна произведению числа пи на квадрат радиуса круга». Воспользуйтесь онлайн калькулятором, чтобы проверить правильность вычислений. Обратите внимание, если вы вводите радиус круга в см, то площадь круга получите в см². Аналогично если в ед. или в м, то площадь будет в ед² и в м² соответственно. Десятичные значения радиуса вводите с точкой, вот так 5.5, 3.25.

Число пи — постоянная величина, равная приблизительно 3,14.

Единицы измерения площади круга

Мы с вами уже научились определять площадь, зная радиус круга. Познакомимся теперь с популярными единицами измерения площади круга.

• квадратные миллиметры — мм²,
• квадратные сантиметры — см²,
• квадратные метры — м²,
• квадратные километры — км²,
• квадратные единицы длины — ед².

Площадь круга через его диаметр

Определить площадь любого заданного круга через его диаметр можно по формуле: S=\pi \frac{D^2}{4} Эта формула звучит так: «Площадь круга через его диаметр равна произведению числа пи на диаметр круга в квадрате, деленному на 4». Эта формула получается из формулы \displaystyle \pi R^2 после замены радиуса на диаметр \displaystyle R=\frac{D}{2} (радиус круга — это половина его диаметра). Получаем \displaystyle S= \pi R^2=\pi (\frac{D}{2})^2=\pi \frac{D^2}{4}. Если вы знаете диаметр круга, то вы можете вычислить площадь этого круга с помощью нашего калькулятора, в котором тоже используется эта же формула.

Кстати, сравните — определение площади любого круга через его радиус и через его диаметр должны совпадать. Потому что независимо от того, через что именно (радиус или диаметр) вы определяете площадь, это все тот же круг и все та же площадь.

Площадь любого круга можно еще определить, если известна длина окружности — границы круга.

Определение площади круга через его длину окружности

Так как длина окружности \displaystyle l=2 \pi R, то определяя радиус \displaystyle R=\frac{l}{2 \pi} и подставляя в начальную формулу площади круга \displaystyle S=\pi R^2, получим: \displaystyle S=\pi R^2=\pi (\frac{l}{2 \pi})^2=\frac{l^2}{4\pi}. Формула читается так: «площадь равна отношению квадрата длины окружности круга к произведению 4 и пи».

Вы можете определить площадь круга через длину его окружности с помощью нашего онлайн-калькулятора. Нужно лишь ввести длину окружности круга.

Онлайн калькуляторы площади круга дают результат с точностью до 15-го знака после запятой. При этом число \displaystyle \pi берется равным 3,14.

Вы получается значение площади в абсолютных единицах. Если вы ввели радиус (диаметр, длину окружности) в метрах (сантиметрах, дециметрах, единицах), то площадь вы получите в таких же квадратных единицах. Конвертации единиц измерения калькулятор не делает, поэтому внимательно смотрите, в каких единицах вам нужно получить результат, и вводите исходные данные в этих же единицах.

Например, нужно определить площадь круга в квадратных метрах, а радиус дан в сантиметрах. Тогда вам нужно сначала перевести сантиметры в метры — умножив число в сантиметрах на 0,01 (или разделив на 100, так как в метре 100 см).

Пусть дан радиус круга 40 см, площадь круга вы хотите получить в м². Тогда радиус надо перевести в метры: \displaystyle R=\frac{40}{100}=\frac{4}{10}=0.4. Именно это число надо ввести в калькулятор для определения площади круга по его радиусу.

Как определяли площадь круга в древности

Уже издавна люди, разделяя шар сечениями на части, обнаружили, что круг — это сечение шара. Сечение, которые проходит через центр шара. Граница круга — множество точек, равноудаленных от одной точки. Известно, что площадь круга была известна еще Архимеду. В его трудах было найдено определение площади круга через предел.

Среди работ Архимеда три посвящены геометрии на плоскости. В работе «Измерение окружности» Архимед эффективно использовал концепцию приближения, предложенную Евклидом. Он предложил вписать в круг многоугольник. Чем больше многоугольник можно вписать в круг, тем точнее будет значение площадь круга. Сначала Архимед использовал шестиугольники, а затем последовательно удваивал количество сторон.

Когда Архимед получил девяностошестиугольник, он получил оценочное значение числа пи между 3,14163 и 3,14286.

Пи – это отношение длины окружности к ее диаметру.

Кроме того, он подсчитал, что площадь поверхности шара в четыре раза больше площади наибольшего вписанного в него круга. Он изобрел метод нахождения площади круга, метод нахождения площади шара и метод нахождения объема шара

 

Сейчас мы находим площадь разного рода кругов используя ту самую формулу, которую открыл Архимед.

Изучение темы «Площадь круга» проходят в школьном курсе геометрии. Формула определения площади через радиус круга является важной в геометрии. Она также часто используется и в химии, и в физике.

В дальнейшем помимо площади круга, можно определять площадь сегмента круга, площадь сектора круга.