Решите неравенство
\displaystyle \frac{-16}{(x+2)^2-5} \le 0Решение:
В числителе у нас стоит отрицательное число, значит, для того, чтобы дробь \displaystyle \frac{-16}{(x+2)^2-5} была меньше или равна нулю, нам необходимо, чтобы знаменатель дроби был больше нуля. На ноль делить нельзя, поэтому в данном неравенстве никакое значение x не даст нам 0.
Итак, получаем следующее неравенство:
(x+2)^2-5>0\\ x^2+4x+4-5>0 \\ x^2+4x-1>0Решим это неравенство методом интервалов, для этого определим, корни уравнения x^2+4x-1=0 D=b^2-4ac=16-4\cdot1 \cdot (-1)=16+4=20\\ x_1=\frac{-4-\sqrt{20}}{2}=\frac{-4-2\sqrt{5}}{2}=-2-\sqrt{5}.
Аналогично,
x_2=-2+\sqrt{5}.Ответим данные точки на числовой оси и определим интервалы с положительными значениями выражения (x+2)^2-5 и с отрицательными.
Для проверки знаков в интервалах, возьмем любое число между числами -2-\sqrt{5} и -2+\sqrt{5}. Очевидно, что между этими числами есть число 0. Поэтому возьмем 0 и подставим в выражение (x+2)^2-5, получим отрицательное число -1, то есть в этом промежутке если мы возьмем любое число, оно даст нам при подстановке в выражение (x+2)^2-5 отрицательное число.
Значит, следующие два промежутка будут промежутками с числами, которые при подстановке в выражение (x+2)^2-5 дадут нам положительные значения.
Нам нужны именно этим промежутки.
Получаем, что
x \in (-\infty;-2-\sqrt{5})\cup (-2+\sqrt{5}; +\infty)
Значения -2-\sqrt{5} и -2+\sqrt{5} не входят в решение, так как неравенство у нас строгое и на ноль делить нельзя.
Ответ: x \in (-\infty;-2-\sqrt{5})\cup (-2+\sqrt{5}; +\infty).
Спасибо. Все понятно.
тут ошибка вроде бы,в неравенстве изначально знак нестрогий, поэтому в ответе скобки должны быть фигурными где значения х
Мы переходим к новому неравенству, так как все переменные у нас в знаменателе. Так как на ноль делить нельзя, то неравенство (x+2)^2−5>0 может быть только строгим.