Метод подстановки — это распространенный метод, используемый для решения систем уравнений, когда мы находим значения двух или более переменных, которые удовлетворяют набору уравнений. В этом методе мы решаем одно уравнение для одной переменной через другую, а затем подставляем это выражение в другое уравнение. Это позволяет нам найти оставшуюся переменную.
Общий вид решения системы методом подстановки
Чтобы продемонстрировать этот метод, рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными:
\begin{cases} ax + by = c \\ \\ dx + ey = f \\ \end{cases}Сначала мы решаем одно из уравнений для одной переменной относительно другой. Решим первое уравнение относительно y:
\displaystyle by = c - ax\\ \\ y = \frac{c - ax}{b}Затем мы подставляем это выражение для y во второе уравнение и решаем для x:
\displaystyle dx + e\frac{c - ax}{b} = f \\ dbx + ec - eax = fb\\ (ec - fb) + (db - ae)x = 0\\ x = \frac{fb - ec}{db - ae}Теперь, когда мы решили уравнение относительно x, мы можем подставить это выражение обратно в первое уравнение и решить его относительно y:
\displaystyle ax + by = c\\ a\frac{fb - ec}{db - ae} + by = c\\ by = c - \frac{afb - aec}{db - ae}\\ y = \frac{dc - ae}{db - ae}Эти окончательные выражения дают нам значения x и y, которые удовлетворяют системе уравнений. Важно отметить, что метод подстановки не всегда является наиболее эффективным методом решения систем уравнений, но его полезно иметь в своем наборе инструментов для решения систем уравнений.
Примеры решения методом подстановки
Пример 1
Решите следующую систему уравнений методом подстановки:
\displaystyle \begin{cases} 2x + y = 5 \\ 3x - 2y = 8 \\ \end{cases}Мы можем начать с решения первого уравнения для y:
\displaystyle y = 5 - 2xТеперь мы можем подставить это выражение для y во второе уравнение:
\displaystyle 3x - 2(5 - 2x) = 8Упрощая это уравнение, получаем:
\displaystyle 3x - 10 + 4x = 8\\ 7x = 18\\ {}\\ \displaystyle x = \frac{18}{7}Теперь, когда мы решили для x, мы можем подставить это значение обратно в любое из исходных уравнений для решения для y. Используем первое уравнение:
\displaystyle 2x + y = 5\\ {}\\ \displaystyle 2\cdot \frac{18}{7} + y = 5\\ {}\\ \displaystyle y = -\frac{1}{7}Итак, решение системы уравнений:
\displaystyle x = \frac{18}{7}, y = -\frac{1}{7}Мы можем проверить, что эти значения удовлетворяют обоим исходным уравнениям:
\displaystyle \begin{cases} {}\\ \displaystyle 2\cdot \frac{18}{7} - \frac{1}{7} = 5 \\ {}\\ \displaystyle 3\cdot \frac{18}{7} + 2\cdot \frac{1}{7} = 8 \\ {}\\ \end{cases}Оба уравнения выполняются, значит, решение верное.
Ответ: \displaystyle x = \frac{18}{7}, y = -\frac{1}{7}
Пример 2
Решим следующую систему уравнений методом подстановки:
\displaystyle \begin{cases} 3x + 2y = 13\\ 4x - 3y = 2 \\ \end{cases}Мы можем начать с решения первого уравнения для y:
\displaystyle y = \frac{13 - 3x}{2}Теперь мы можем подставить это выражение y во второе уравнение:
\displaystyle 4x - 3\cdot\left(\frac{13 - 3x}{2}\right) = 2Упрощая это уравнение, получаем:
\displaystyle 4x - \frac{39}{2} + \frac{9x}{2} = 2\\ {}\\ 17x = 43\\ {}\\ x = \frac{43}{17}Теперь, когда мы решили для x, мы можем подставить это значение обратно в любое из исходных уравнений для решения для y. Используем первое уравнение:
\displaystyle 3\cdot\frac{43}{17} + 2y = 13\\ {}\\ \displaystyle 2y = 13 - \frac{129}{17}\\ {}\\ 2 \cdot 17 \cdot y=13\cdot 17 -129\\ {}\\ 34y=221-129\\ {}\\ 34y=92\\ {}\\ \displaystyle y = \frac{46}{17}\\ {}Итак, решение системы уравнений:
\displaystyle x = \frac{43}{17}, y = \frac{46}{17}Ответ: \displaystyle x = \frac{43}{17}, y = \frac{46}{17}
Пример 3
Решите систему уравнений
\displaystyle \begin{cases} 2x + 3y = 8\\ {}\\ 5x - 2y = 11 \\ \end{cases}Мы можем начать с решения первого уравнения для y:
\displaystyle y = \frac{8 - 2x}{3}Теперь мы можем подставить это выражение для y во второе уравнение:
\displaystyle 5x - 2\cdot\left(\frac{8 - 2x}{3}\right) = 11Упрощая это уравнение, получаем:
\displaystyle 15x - 16 + 4x = 33\\ {}\\ 19x = 49\\ {}\\ x = \frac{49}{19}Теперь, когда мы решили для x, мы можем подставить это значение обратно в любое из исходных уравнений для решения для y. Используя первое уравнение:
\displaystyle 2\cdot\frac{49}{19} + 3y = 8\\ {}\\ 3y = 8 - \frac{98}{19}\\ {}\\ 3\cdot 19 \cdot y=152-98\\ {}\\ 57y=54\\ {}\\ y = \frac{18}{19}Следовательно, решение системы уравнений:
\displaystyle x = \frac{49}{19}, y = \frac{18}{19}Ответ: \displaystyle x = \frac{49}{19}, y = \frac{18}{19}
Пример 4
Решите систему методом подстановки
\displaystyle \begin{cases} x(1+y) = 12\\ \\ \displaystyle \frac{x}{y+1}= \frac{4}{3} \\ \end{cases}Выразим из первого уравнения y и подставим во второе уравнение:
\displaystyle y = \frac{12}{x}-1\\ {}\\ \displaystyle \frac{x}{\frac{12}{x}-1+1}=\frac{4}{3}\\ {}\\ \displaystyle \frac{x^2}{12}=\frac{4}{3}\\ {}\\ x^2=\frac{4 \cdot 12}{3}=4^2\\ {}\\ x_1=-4, x_2=4\\ {}Тогда \displaystyle y_1 = \frac{12}{-4}-1=-4, y_2 = \frac{12}{4}-1=2
Ответ: (-4,-4) и (4, 2)
Выводы
Метод подстановки при решении систем уравнений
- Метод подстановки используется для решения систем линейных уравнений.
- Метод подстановки позволяет находить значения двух или более переменных, удовлетворяющих набору уравнений.
- Общий вид решения системы методом подстановки включает решение одного уравнения для одной переменной через другую и подставление полученного выражения в другое уравнение.
- Метод подстановки не всегда является наиболее эффективным, но его полезно иметь в наборе инструментов для решения систем уравнений.
- Примеры решения методом подстановки представлены в статье.
Важно помнить, что при использовании метода подстановки необходимо проверить полученное решение путем подстановки найденных значений переменных в исходные уравнения системы и убедиться в их справедливости.