Делимость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел.
Делители и кратные натурального числа
15 яблок можно разделить поровну между пятью детьми, дав каждому по 3 яблока. А если разделить (не разрезая) эти самые 15 яблок между шестью детьми, то каждый ребенок получит по 2 яблока и еще 3 яблока не будут разделены.
Число 15 делится на 5 без остатка (15 : 5 = 3). Говорят, что число 5 будет делителем числа 15. Число 15 не делится на 6 без остатка (15 : 6 = 2 (ост. 3)). Поэтому число 6 не будет делителем числа 15.
Делителем натурального числа 
называют натуральное число, на которое оно делится без остатка.
Например, делителями числа 10 будут числа 1, 2, 5 и 10, а делителями числа 17 — 1 и 17. Число 10 имеет четыре делителя, а число 17 — два делителя, число 1 имеет только один делитель — 1.
В дальнейшем вместо слов “делится без остатка” для случая, когда делимым и делителем будут натуральные числа, будем использовать слово “делится”.
Любое натуральное число 
делится на 1 и 
. Следовательно, 1 и 
— делители числа 
, причем 1 — наименьший делитель, 
— наибольший.
Пример №1
Найти все делители числа 18.
Решение. Два делителя числа 18 очевидные: 1 и 18. Чтобы найти другие, будем проверять подряд все натуральные числа, начиная с 2. Получим еще четыре делителя: 2, 3, 6 и 9. Следовательно, число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Этот поиск чисел можно сократить, если, найдя один делитель, записать сразу и другой, который является частным от деления числа 18 на найденный делитель. Таким образом, получим пары: 1 и 18, 2 и 9, 3 и 6. Во время вычисления их удобно записывать так:
Пусть на столе лежат коробки, в каждой из которых находится 12 карандашей. Не вскрывая коробки, можно взять 12 карандашей, 24 карандаша, 36 карандашей, а вот 16 карандашей взять нельзя. Говорят, что числа 12, 24, 36 кратные числу 12, а число 16 не кратное числу 12.
Кратным натуральному числу 
называют натуральное число, которое делится на 
.
Любое натуральное число 
имеет множество кратных. Например, первые пять чисел, которые кратны числу 12, такие: 12, 24, 36, 48, 60. Наименьшим кратным натурального числа будет само это число.
Вообще, все числа, которые кратны числу 
можно получить, умножив 
последовательно на числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, а именно:
Заметим, что слова “делится” и “кратное” заменяют друг друга. Например, выражения “40 делится на 8” и “40 кратно числу 8” имеют один и тот же смысл.
Пример №2
Найти наименьшее и наибольшее четырехзначные числа, кратные числу 23.
Решение.
1) 1000 — наименьшее четырехзначное число. 1000 : 23 = 43 (ост. 11). Поэтому 23 • 44 = 1012 — наименьшее четырехзначное число, которое кратное числу 23.
2) 9999— наибольшее четырехзначное число. 9999 : 23 = 434 (ост. 17). Поэтому 23 • 434 = 9982 — наибольшее четырехзначное число, которое кратно числу 23.