Решение уравнений и основные свойства уравнения

До сих пор мы решали уравнения, используя зависимости между компонентами действий. Рассмотрим основные свойства уравнения, которые предоставят возможность значительно упростить процесс решения знакомых нам видов уравнений и научиться решать новые виды уравнений.

Пример №1

Решить уравнение

Решение. По правилу нахождения неизвестного множителя имеем . Это же уравнение можно получить, если обе части исходного уравнения разделить на 3 или умножить обе части на .  Завершая решение уравнения, найдем .

Число 4 является как корнем уравнения (ибо 4 + 2 = 6), так и корнем уравнения (ибо ). Имеем такое свойство уравнения:

• корни уравнения не изменятся, если его обе части умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.

Пример №2

Решить уравнение .

Решение. По правилу нахождения неизвестного слагаемого имеем . Это уравнение можно получить из первоначального, если перенести слагаемое 2 из левой части в правую, изменив знак этого слагаемого на противоположный (с «+» на «–»). Окончательно имеем .

Пример №3

Решить уравнение .

Решение. По правилу нахождения неизвестного уменьшаемого имеем х = 8 + 3. Это уравнение можно получить из исходного, если перенести слагаемое –3 из левой части в правую, изменив знак слагаемого на противоположный (с «–» на «+»). Итак,  корень уравнения.

Имеем еще одно свойство уравнения:

• корни уравнения не изменятся, если некоторое слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, сменив при этом его знак на противоположный.

Исходя из приведенных свойств, составим общую схему решения уравнений, которую применим в следующем примере.

Пример №4

Решить уравнение

Решение.

Раскроем скобки:

Упростим:

Перенесем неизвестные в левую часть, а известные – в правую.

Посчитаем:

Находим,