При умножении рациональных чисел, как и при умножении положительных чисел, выполняются переместительное и сочетательное свойства.
Переместительное свойство умножения.
Для любых рациональных чисел и
выполняется равенство
ab = ba.
Проверим это свойство на примерах.
Пример №1
поэтому
Пример №2
поэтому
Сочетательное свойство умножения.
Для любых рациональных чисел ,
и
выполняется равенство
(ab)c = a(bc).
Проверим это свойство на примере.
Пример №3
, поэтому
Заметим также, что для любого рационального числа выполняются равенства:
Свойства умножения дают возможность упростить процесс вычисления произведения нескольких множителей, выбирая удобный порядок вычислений.
Пример №4
Заметим, что произведение нескольких чисел, отличных от нуля, — число отрицательное, если количество отрицательных множителей нечетное. Если количество отрицательных множителей четное, то произведение — число положительное. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
Свойства умножения дают возможность упрощать выражения.
Пример №5
Упростить выражение
Решения.
Число 30 называют коэффициентом полученного буквенного выражения . Например, выражение
имеет коэффициент
.
Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называют числовым коэффициентом (или просто коэффициентом).
Обычно коэффициент записывают перед буквенным множителем, а коэффициент 1 не пишут. Следовательно, , буквенное выражение
имеет коэффициент 1. Вместо коэффициента –1 пишут только знак «–». Например, вместо
пишут
, то есть
, буквенное выражение
имеет коэффициент —1.