Комбинаторика — раздел математики, изучающий комбинации и перестановки предметов, размещение элементов, имеющих определенные свойства, и тому подобное. Рассмотрим задачу.
Задача №13
На почте в продаже есть 5 различных конвертов и 3 различные марки. Сколькими способами можно купить конверт с маркой?
Решение. 1-й способ. Нарисуем дерево возможных вариантов (рис. 5). Обозначим конверт буквой К, марку — буквой М. Рисуем от ствола 5 веток (ибо есть 5 видов конвертов). Поскольку имеем 3 марки, то от каждой из пяти полученных точек рисуем по 3 ветки. Считаем количество полученных внизу точек — 15 и получаем ответ к задаче. Дерево возможных вариантов позволяет решать разнообразные задачи, связанные с исчислением количества способов.
2-й способ. Выберем конверт. В комплект к нему можно выбрать любую из трех марок. Поэтому есть 3 комплекта, которые содержат избранный конверт. Поскольку конвертов всего 5, то количество различных способов составляет 
Пришли к важному правилу комбинаторики — правило произведения:
если элемент А можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора другой элемент В можно выбрать (независимо от выбора элемента А) n способами, то пару элементов А и В можно выбрать m • n способами.
Правило произведения можно использовать, если нужно выбрать более 2-х элементов.
Задача №14
На почте в продаже есть 5 различных конвертов с различными марками и 4 различные поздравительные открытки. Сколькими способами можно купить комплект, содержащий конверт, марку и открытку?
Решение. 
способов.
Рассмотрим далее задачу, в которой нужно посчитать количество способов, которыми можно разместить в ряд определенное количество предметов.
Задача №15
Ребенок играет тремя игрушками: машинкой, трактором, самолетиком. Сколькими способами их можно выложить в ряд?
Решение. На первое место можем поставить одну из трех игрушек: машинку, трактор или самолетик. После этого на второе место можно поставить одну из двух следующих игрушек. После этого на третье место ставим одну игрушку, которая осталась после выбора первых двух. Используя правило произведения, найдем, что игрушки можно разместить шестью различными способами 
Проверим решение задачи с помощью дерева возможных вариантов (рис. 6).
Вычислили количество способов, которыми можно разместить в ряд несколько предметов. Такие размещения называют перестановками.
Перестановки обозначают буквой 
В задаче 15 количество перестановок из трех элементов равна 
аналогично количество перестановок из двух элементов 
из четырех элементов 
из пяти 
и т. д.
Рассмотрим еще несколько комбинаторных задач.
Задача №16
Из данных чисел выбрать такие, которые при перестановке цифр образуют числа, в которых число единиц на 3 больше числа десятков: 42, 36, 74, 14, 85, 92, 47.
Решение. Переставляя цифры, имеем числа 24, 63, 47, 41, 58, 29, 74. Условие удовлетворяют числа 74 и 85.
Задача №17
В алфавите племени БАБА есть только две буквы «а» и «б». Запиши все слова племени, которые содержат: 1) две буквы; 2) три буквы.
Решение. 1) аа, ба, аб, бб (всего четыре слова);
2) ааа, ааб, аба, абб, ббб, бба, баб, баа (всего восемь слов). Заметим, что найденное количество слов согласуется с правилом произведения. Поскольку на каждое место есть два «претендента» — «а» и «б», то слов, содержащих две буквы, должно быть 
а три буквы — 
Рассмотрим две задачи на нахождение конфигурации элементов, которые имеют определенные свойства.
Задача №18
В клетки квадрата (рис. 7) надо поставить числа 1, 2, 3 и 4 так, чтобы числа не повторялись ни в строках, ни в столбцах, ни по диагоналям (линиям, ведущим из левого нижнего угла в правый верхний и из правого нижнего угла в левый верхний).
Решение. Один из вариантов решения представлен на рисунке 8.
Задача №19
Сколькими способами можно разделить 5 конфет между тремя детьми так, чтобы каждый ребенок получил хотя бы по одной конфете?
Решение. Представим решение в виде таблицы.
Итак, всего есть 6 способов.
Задачи и упражнения на все действия с натуральными числами
Вычисляя значения числовых выражений, следует не забывать о порядке действий.
Порядок выполнения действий определяется следующими правилами:
- В выражениях со скобками сначала вычисляют значения выражений в скобках.
- В выражениях без скобок сначала выполняют возведение в степень, затем по порядку слева направо умножение и деление, а затем — сложение и вычитание.
Пример №12
Вычисли: 
Решение: 
Пример №13
Найди значение выражение 
если 
Решение: Если 
Там, где это целесообразно, можно использовать свойства действий. Например, значение выражения 
можно вычислить так:
