Рассмотрим задачу.
Задача №1
Какое наименьшее целое количество метров ткани должно быть в свитке, чтобы ее можно было бы всю разрезать без остатка по 4 м или по 6 м?
Решение. Число метров в свитке должно делиться и на 4, и на 6, то есть должно быть кратным и числу 4, и числу 6.
Запишем числа, кратные числу
и числа, кратные числу
Общими кратными (они подчеркнуты) чисел 4 и 6 будут числа 12, 24, 36, …, наименьшее из которых 12. Это число называют наименьшим общим кратным чисел 4 и 6. Собственно, наименьшее количество метров ткани, которое должно быть в свитке, равно 12 м. Тогда ее можно разрезать по 4 м на 3 части (12 : 4 = 3) или по 6 м на 2 части (12 : 6 = 2).
Наименьшим общим кратным нескольких натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел.
Наименьшее общее кратное двух чисел 
и 
обозначают НОК 
Собственно, можно записать НОК (4; 6) = 12.
В рассматриваемой задаче мы нашли наименьшее общее кратное небольших чисел. Для больших чисел этот способ будет громоздким, поэтому наименьшее общее кратное находят по другому.
Пример №2
Найти НОК (30; 36)
Решение. Разложим данные числа на простые множители 30 = 2 • 3 • 5 и 36 = 2 • 2 • 3 • 3. Наименьшее общее кратное должно делится и на 30, и на 36. Поэтому оно должно содержать все простые множители и первого, и второго числа.
Рассмотрим разложение одного из этих чисел, например 30 = 2 • 3 • 5, и выясним, каких простых множителей второго числа в этом разложении нет. Такими множителями будут 2 и 3. На самом деле, в разложении 30 = 2 • 3 • 5 будет один множитель 2 и один множитель 3, а в разложении 36 = 2 • 2 • 3 • 3 два множителя 2 и два множителя 3. Собственно, чтобы найти НОК (30; 36), нужно разложение 30 = 2 • 3 • 5 дополнить множителями 2 и 3, каких не хватает, Имеем:
НОК 
Чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, достаточно:
- Разложить данные числа на простые множители;
- Дополнить разложение одного из них теми множителями разложения второго числа, каких не хватает в разложении первого:
- Вычислить произведение найденных множителей.
По этому правилу можно найти наименьшее общее кратное трех и больше чисел. Тогда разложение одного из этих чисел на простые множители нужно дополнить теми простыми множителями остальных чисел, которых не хватает в его разложении, и вычислить произведение найденных множителей.
Пример №3
Найти НОК (42; 66; 90).
Решение. 42 = 2 • 3 • 7; 66 = 2 • 3 • 11; 90 = 2 • 3 • 3 • 5.
НОК
Если одно из данных чисел делится на все другие, тогда это число и будет их наименьшим общим кратным.
Пример №4
Найти НОК (6; 9; 36).
Решение. Поскольку число 36 делится как на 6, так и на 9, тогда НОК (6; 9; 36) = 36.
Наименьшим общим кратным двух взаимно простых чисел будет произведение этих двух чисел. Например, НОК (5; 8) = 5 • 8 = 40.