Мы уже умеем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель.
Например, \frac{4}{7} > \frac{2}{7}, \quad \frac{7}{13} < \frac{9}{13}
А как сравнивать дроби с разными знаменателями?
Пример №1
Сравнить дроби \frac{3}{4} \text{ и } \frac{5}{6}
Решение. Используем основное свойство дроби и приведем дроби \frac{3}{4} \text{ и } \frac{5}{6} к общему знаменателю.
Общий знаменатель этих дробей должен делиться и на 4, и на 6, то есть он является общим кратным чисел 4 и 6. Таких общих кратных множество: 12, 24, 36, 48, … И дробь \frac{3}{4} \text{ и дробь } \frac{5}{6} можно привести к знаменателю 12, 24, 36, 48, … Наименьшее общее кратное знаменателей двух дробей (в нашем случае — 12) называют наименьшим общим знаменателем.
Итак, приведем дроби \frac{3}{4} \text{ и } \frac{5}{6} к знаменателю 12. Найдем для этого дополнительный множитель для каждой дроби, то есть число, на которое нужно умножить числитель и знаменатель дроби, чтобы получить дробь со знаменателем 12. Для этого нужно новый знаменатель 12 делим на знаменатели данных дробей: 12 : 4 = 3 и 12 : 6 = 2. Дополнительным множителем для дроби \frac{3}{4} будет число 3, а для дроби \frac{5}{6} — число 2. Дополнительные множители запишем слева над соответствующими числителями и подчеркнем их косой чертой:
\displaystyle \frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{9}{12}\quad \text{и} \quad \frac{5\cdot 2}{6\cdot 2}=\frac{10}{12}Данные дроби привели к наименьшему общему знаменателю.
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, достаточно:
- найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей, которое и будет наименьшим общим знаменателем;
- найти для каждой дроби дополнительный множитель, поделив наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей;
- умножить числитель и знаменатель каждой дроби на его дополнительный множитель.
После приведения дробей \displaystyle \frac{3}{4} \text{ и } \frac{5}{6} к общему знаменателю можем их сравнить. Поскольку
\displaystyle \frac{3}{4}=\frac{9}{12}, \text{ а } \frac{5}{6}=\frac{10}{12} \text{ и } \frac{9}{12}<\frac{10}{12}, \text{ то } \frac{3}{4}<\frac{5}{6}.
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, достаточно привести их к общему знаменателю и сравнить полученные дроби.
Приводить к наименьшему общему знаменателю можно не только две дроби, но и три, четыре и т. д.
Пример №2
Привести к наименьшему общему знаменателю дроби \displaystyle \frac{1}{8},\ \frac{5}{12}\ \text{и}\ \frac{3}{4}.
Решение. Наименьшим общим знаменателем будет число 24, ибо это наименьшее число, которое делится на все данные знаменатели. Получим:
\displaystyle \frac{1}{8}=\frac{3}{24};\quad \frac{5}{12}=\frac{10}{24};\quad \frac{3}{4}=\frac{18}{24}.
Если наименьший общий знаменатель найти трудно, то знаменатели надо разложить на простые множители.
Пример №3
Привести к наименьшему общему знаменателю дроби \displaystyle \frac{13}{48}\ \text{и}\ \frac{17}{60}.
Решение. 48 = 2 • 2 • 2 • 2• 3; 60 = 2 • 2 • 3 • 5. НОК (48; 60) = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 5 = 240. Тогда
\displaystyle \operatorname{НОК}(48;60)=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5=240.