Обратная пропорциональная зависимость

Пусть площадь прямоугольника равна 36 см², а длина и ширина прямоугольника являются натуральными числами. Некоторые из возможных значений длины и ширины  даны в таблице.

, см	36	18	12	9	6
, см	1	2	3	4	6

Каждый раз имеем разные значения длины и ширины прямоугольника, однако произведение этих значений является постоянным числом. Оно равно площади прямоугольника (в см²), то есть числу 36:

36 • 1 = 18 • 2 = 12 • 3 = 9 • 4 = 6 • 6 = 36.

Две величины, произведение соответствующих значений которых являются постоянными, называют обратно пропорциональными.

Заметим, что из соответствующих значений одной из двух обратно пропорциональных величин и значения, обратного второй величине, можно составить пропорцию. Действительно, выходя, например, из условия 12 • 3 = 9 • 4, можно составить пропорцию\displaystyle \frac{12}{9}=\frac{4}{3}. Этим и объясняется название обратно пропорциональных величин. 

Обратно пропорциональными величинами являются длина и ширина прямоугольника при постоянной площади прямоугольника; скорость тела и время при постоянном пути; количество работников и время выполнения работы, если объем работы является постоянным, и тому подобное.

Рассмотрим два значения длины прямоугольника   и  и соответствующие им значения ширины  и . Вдвое большему значению длины прямоугольника соответствует вдвое меньшее значение его ширины. Можно сделать вывод о том, что обратно пропорциональные величины имеют такое свойство:

с увеличением (уменьшением) значения одной из обратно пропорциональных величин в несколько раз значение второй величины уменьшается (увеличивается) в такое же количество раз.

Отсюда можно сделать вывод, что если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равняется обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Действительно, в рассмотренном выше примере отношение значений  и  равно обратному отношению соответствующих значений  и :

Итак, задачи, связанные с обратной пропорциональной зависимостью, как и задачи, связанные с прямой пропорциональной зависимостью, можно решать с помощью пропорции.

Задача №1

10 рабочих выполняют определенную работу за 12 часов. Сколько времени понадобится для выполнения такой работы шести рабочим, если производительность труда всех рабочих одинаковая?

Решение. Число рабочих и время выполнения данной работы являются величинами обратно пропорциональными (при одинаковой производительности труда всех рабочих).

Пусть 6 рабочих выполняют работу за ч. Запишем условие задачи схематически:

10 раб – 12 ч
6 раб –  ч

Величины в задаче обратно (а не прямо) пропорциональны, при составлении соответствующего уравнения 12 и надо поменять местами. Итак, имеем уравнение

Отсюда  (ч).

Ответ. 20 ч.

Не любые две величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными. Например, масса ребенка увеличивается при увеличении его возраста. Но эти величины не являются пропорциональными, поскольку при увеличении вдвое возраста ребенка его масса вдвое не увеличивается.