Обыкновенная дробь — это запись вида a/b, где a и b — любые натуральные числа. Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби.
Основное свойство дроби. Сокращение дроби.
Напомним основное свойство частного: если делимое и делитель умножить на одно и то же отличное от нуля число, то частное от этого не изменится. Поскольку обыкновенную дробь можно рассматривать как частное деления, то это свойство можно применить и к обыкновенным дробям.
На рисунке можно увидеть, что \displaystyle \frac{1}{2}\ \text{круга}=\frac{2}{4}\ \text{круга}, \quad \frac{2}{4}\ \text{круга}=\frac{4}{8}\ \text{круга}. Поэтому можно записать:
\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{4}{8}Рассмотрим, например, равенство \displaystyle \frac{2}{4}=\frac{4}{8}. У этого равенства из левой части получим правую, если числитель и знаменатель дроби умножить на 2. В самом деле, \displaystyle \frac{2}{4}=\frac{2\cdot 2}{4\cdot 2}=\frac{4}{8}.
Далее, рассмотрим равенство \displaystyle \frac{4}{8}=\frac{2}{4}. У этого равенства из левой части получим правую, если числитель и знаменатель дроби поделить на 2, то есть \displaystyle \frac{4}{8}=\frac{4:2}{8:2}=\frac{2}{4}.
Получим основное свойство дроби:
значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить или поделить на одно и то же отличное от нуля число.
Например: \displaystyle \frac{2}{5}=\frac{2\cdot3}{5\cdot3}=\frac{6}{15}; \quad \frac{14}{20}=\frac{14:2}{20:2}=\frac{7}{10}.
Из равенства \displaystyle \frac{2}{5}=\frac{6}{15} следует, что дроби \displaystyle \frac{2}{5}\ \text{и}\ \frac{6}{15} являются разными записями одного и того же самого числа. Поскольку \displaystyle \frac{14}{20}=\frac{7}{10} то дроби \displaystyle \frac{14}{20}\ \text{и}\ \frac{7}{10} являются также разными записями одного числа.
Деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число называют сокращением дроби. При этом одну дробь заменяют на другую, которая равна данной, но по сравнению с ней имеет меньший числитель и знаменатель.
Пример 1.
\displaystyle \frac{4}{10}=\frac{4:2}{10:2}=\frac{2}{5} дробь сокращена на 2.Пример 2.
\displaystyle \frac{6}{15}=\frac{6:3}{15:3}=\frac{2}{5} дробь сокращена на 3.Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель называют сокращением дроби.
Как правило, действие деления числителя и знаменателя дроби на одно и то же число не пишут и после знака равенства сразу пишут сокращенную дробь.
Пример 3.
\displaystyle \frac{16}{20}=\frac{4}{5} или \displaystyle \frac{\cancel{16}^{\,4}}{\cancel{20}_{\,5}}=\frac{4}{5} дробь сокращена на 4.
Дробь можно сократить, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1. Если числитель и знаменатель дроби взаимно простые числа, то дробь сократить нельзя. Такую дробь называют несократимой дробью. Например: \displaystyle \frac{4}{5},\ \frac{7}{13},\ \frac{8}{5}.
Чтобы из данной дроби получить несократимую дробь, надо числитель и знаменатель разделить на их наибольший общий делитель. Сокращать дробь можно двумя способами.
- І способ. Постепенно деля числитель и знаменатель на их соответствующие общие делители, пока не получим несократимую дробь.
- II способ. Сразу деля числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.
Пример 4
Сократить дробь \displaystyle \frac{66}{78}.
Решение. І способ. \displaystyle \frac{66}{78}=\frac{33}{39}=\frac{11}{13} сначала сократили на 2, потом на 3.
II способ. НОД (66; 78) = 6, поэтому \displaystyle \frac{66}{78}=\frac{11}{13} числитель и знаменатель сразу сократили на 6.
Иногда удобно при сокращении дроби разложить числитель и знаменатель на несколько множителей, а потом уже сократить.
Пример 5.
\displaystyle \frac{135}{360}
=
\frac{5\cdot27}{36\cdot10}
=
\frac{5\cdot3\cdot3\cdot3}{2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot2\cdot5}
Сократим на 3 • 3 • 5 и получим\displaystyle \frac{135}{360} = \frac{3}{2\cdot2\cdot2} = \frac{3}{8}