Логарифм

Что такое логарифм, как решать примеры с логарифмами и записывать его верно. Разберем эту тему подробнее. [latexpage]

Определение логарифма

Из определения логарифма можно записать показательное уравнение

$$\dysplaystyle a^x=N$$

Примеры записи логарифма из степени

Пример 1

Записать с помощью знака логарифма следующие равенства: $\dysplaystyle 5^2=25$.

Решение: Так как основание степени есть 5, то показатель степени (логарифм) равен 2, а степень равна 25, то есть $\dysplaystyle \log_5 {25}=2$.

Пример 2

Представьте в виде логарифма $\dysplaystyle 7^3=343$.

Решение: логарифм — это показатель степени. Пишем $\dysplaystyle 3=\log_7 {343}$

Пример 3

Записать без знака логарифма следующее равенство $\dysplaystyle \log_{10} 1000=3$.

Решение: Здесь основание степени равно 10, показатель степени равен 3, а логарифмируемое число есть 1000. Поэтому $\dysplaystyle 10^3=1000$.

Пример 4

Найти логарифмы данных чисел по известным основаниям:

1. $\dysplaystyle \log_2 16$
2. $\dysplaystyle \log_6 36$
3. $\dysplaystyle \log_8 1$

Решение:

1. Здесь нужно найти такой показатель степени x, что $\dysplaystyle 2^x=16$. Решая это уравнение, получаем $\dysplaystyle 2^x=2^4$, откуда $\dysplaystyle x=4$. Итак, $\dysplaystyle \log_16=4$.
2. Из уравнения $\dysplaystyle 6^x=36$ находим $\dysplaystyle 6^x=6^2$, то есть $\dysplaystyle x=2$. Значит, $\dysplaystyle \log_6 36=2$
3. В данном случае имеем уравнение $\dysplaystyle 8^x=1$. Это возможно только при условии, что $\dysplaystyle x=0$, откуда $\dysplaystyle \log_8 1=0$.

Определение логарифма позволяет найти не только сам логарифм, но и логарифмируемое число и основание степени.

Пример 5

Определить $\dysplaystyle  x$ по заданным условиям:

1. $\dysplaystyle \log_4 x=-3$
2. $\dysplaystyle  \log_x {\frac{1}{8}}=\frac{3}{}$.

Решение:

1. По определению логарифма, запишем $\dysplaystyle  4^{-3}=x$, откуда $\dysplaystyle x=\frac{1}{64}$
2. Согласно определению логарифма получаем уравнение $\dysplaystyle x^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{8}$. Так как $\dysplaystyle \frac{1}{8}=2^{-3}$ и $\dysplaystyle x^{\frac{3}{2}}=\sqrt{x^3}$, то оно примет вид $\sqrt{x^3}=2^{-3}$. Возведем обе части в квадрат:
   $$\dysplaystyle (\sqrt{x^3})^2=(2^{-3})^2$$
   $$\dysplaystyle x^3=2^{-6}$$
   $$\dysplaystyle x=2^{-2}$$
   $$\dysplaystyle x=\frac{1}{4}$$

Свойства логарифмов

Отметим основные свойства логарифмов.

1. Отрицательные числа и нуль не имеют логарифмов.
2. При любом основании $a$ ($a>0, a \neq 1$) логарифм единицы равен нулю.
3. Логарифм числа, равного основанию, всегда есть единица.

Логарифмы чисел по основанию 10 принято обозначать $lgx$, а логарифмы чисел по основанию $e$, где $e=2,7182…$, принято обозначать $lnx$. Таким образом, $\log_{10}x=lgx$, $\log_{e}x=lnx$.