Логарифм

Логарифм и свойства логарифмов Математика

Что такое логарифм, как решать примеры с логарифмами и записывать его верно. Разберем эту тему подробнее.

Определение логарифма

Логарифмом числа по данному основанию называется показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить заданное число.
Логарифм обозначается так: \dysplaystyle \log_a {N}=x, где \dysplaystyle a — основание логарифма, \dysplaystyle N — заданное (логарифмируемое) число.

Из определения логарифма можно записать показательное уравнение

    \[\dysplaystyle a^x=N\]

Примеры записи логарифма из степени

Пример 1

Записать с помощью знака логарифма следующие равенства: \dysplaystyle 5^2=25.

Решение: Так как основание степени есть 5, то показатель степени (логарифм) равен 2, а степень равна 25, то есть \dysplaystyle \log_5 {25}=2.

Пример 2

Представьте в виде логарифма \dysplaystyle 7^3=343.

Решение: логарифм — это показатель степени. Пишем \dysplaystyle 3=\log_7 {343}

Пример 3

Записать без знака логарифма следующее равенство \dysplaystyle \log_{10} 1000=3.

Решение: Здесь основание степени равно 10, показатель степени равен 3, а логарифмируемое число есть 1000. Поэтому \dysplaystyle 10^3=1000.

Пример 4

Найти логарифмы данных чисел по известным основаниям:

  1. \dysplaystyle \log_2 16
  2. \dysplaystyle \log_6 36
  3. \dysplaystyle \log_8 1

Решение:

  1. Здесь нужно найти такой показатель степени x, что \dysplaystyle 2^x=16. Решая это уравнение, получаем \dysplaystyle 2^x=2^4, откуда \dysplaystyle x=4. Итак, \dysplaystyle \log_16=4.
  2. Из уравнения \dysplaystyle 6^x=36 находим \dysplaystyle 6^x=6^2, то есть \dysplaystyle x=2. Значит, \dysplaystyle \log_6 36=2
  3. В данном случае имеем уравнение \dysplaystyle 8^x=1. Это возможно только при условии, что \dysplaystyle x=0, откуда \dysplaystyle \log_8 1=0.

Определение логарифма позволяет найти не только сам логарифм, но и логарифмируемое число и основание степени.

Пример 5

Определить \dysplaystyle  x по заданным условиям:

  1. \dysplaystyle \log_4 x=-3
  2. \dysplaystyle  \log_x {\frac{1}{8}}=\frac{3}{}.

Решение:

  1. По определению логарифма, запишем \dysplaystyle  4^{-3}=x, откуда \dysplaystyle x=\frac{1}{64}
  2. Согласно определению логарифма получаем уравнение \dysplaystyle x^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{8}. Так как \dysplaystyle \frac{1}{8}=2^{-3} и \dysplaystyle x^{\frac{3}{2}}=\sqrt{x^3}, то оно примет вид \sqrt{x^3}=2^{-3}. Возведем обе части в квадрат:

        \[\dysplaystyle (\sqrt{x^3})^2=(2^{-3})^2\]

        \[\dysplaystyle x^3=2^{-6}\]

        \[\dysplaystyle x=2^{-2}\]

        \[\dysplaystyle x=\frac{1}{4}\]

Свойства логарифмов

Отметим основные свойства логарифмов.

  1. Отрицательные числа и нуль не имеют логарифмов.
  2. При любом основании a (a>0, a \neq 1) логарифм единицы равен нулю.
  3. Логарифм числа, равного основанию, всегда есть единица.

Логарифмы чисел по основанию 10 принято обозначать lgx, а логарифмы чисел по основанию e, где e=2,7182..., принято обозначать lnx. Таким образом, \log_{10}x=lgx, \log_{e}x=lnx.

Оцените статью
( 2 оценки, среднее 5 из 5 )
Знания и образование - вопросы школьной и вузовской программы
Подписаться
Уведомить о
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии