Недавно мы прошли с вами тему «возведение в степень«, в которой изучили правило знаков и разобрали примеры. А теперь разберем правила действий со степенями. Эти правила помогут нам быстро решать примеры на степени, умножать степени, делить их, возводить степень в степень, извлекать корень из степени.
Умножение степеней с одинаковым основанием
При умножении степеней с одинаковым основанием — основание остается прежним, а показатели степеней складываются:
a^m \cdot a^n = a^{m+n}
Приведем пример: 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4}=2^7
Еще пример: a^3 \cdot a = a^{3+1},
b^5 \cdot b^{-3} = b^{5-3}=b^2, x \cdot x^{-3} = x^{1-3} = x^{-2}.Деление степеней с одинаковым основанием
При делении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются:
a^m : a^n = a^{m-n}
Например, a^8 : a^3 = a^{8-3} = a^5.
a^3 : a = a^{3-1} = a^2, a^3 : a^5 = a^{3-5} = a^{-2}, a : a^4 = a^{1-4} = a^{-3}.Возведение степени в степень
При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются:
(a^m)^n = a^{mn}
Примеры:
(2^3)^2 = 2^6 (a^2)^3 = a^6 (b^{-3})^6 = b^{-18} (b^{-\frac{1}{3}})^6 = b^{-2} (x^{-\frac{1}{2}})^{-8} = x^4 (x^{2 \sqrt{2}})^3= x^{6 \sqrt 2}Извлечение корня из степени
При извлечении корня из степени основание степени остается прежним, а показатель степени делится на показатель корня:
\sqrt[n] {a^m} = a^{\frac{m}{n}}
Пример: \sqrt[3] {a^6} = a^ {\frac{6}{3}} = a^2 \sqrt {x^6} = x^ {\frac{6}{2}} = x^3 \sqrt[5] {x^{15}} = x^ {\frac{15}{5}} = x^3 \sqrt x = x^ {\frac{1}{2}}