Теоремы о логарифмах произведения, частного, степени и корня

Есть формулы для логарифмов, позволяющие очень быстро найти логарифм частного, логарифм произведения, логарифм степени и корня. На самом деле эти формулы суть теоремы. Их четыре. Запомнить их достаточно легко.[latexpage]

Теоремы о логарифмах

Перечислим теоремы о логарифмах:

Теорема 1

Логарифм произведения двух чисел равен сумме логарифмов множителей по тому же основанию

\displaystyle \log_a N_1N_2= \log_a N_1 +\log_a N_2

Теорема 2

Логарифм частного двух чисел равен разности логарифмов делимого и делителя по тому же основанию:

\displaystyle \log_a {\frac{N_1}{N_2}}= \log_a{N_1}-\log_a{N_2}

Теорема 3

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания.

\displaystyle \log_a (N^m)=m \log_a N

Теорема 4

Это следствие из теоремы 3. Логарифм корня равен логарифму подкоренного выражения, деленному на показатель степени корня:

\displaystyle \log_a {\sqrt[m] {N}} = \frac{\log_a N}{m} = \frac{1}{m} \log_a {N}

Прологарифмировать некоторое выражение, заданное в виде произведения, частного, степени или корня, — значит выразить логарифм этого выражения через логарифмы составляющих его чисел.

Так как в приведенных логарифмах не рассматриваются логарифмы суммы или разности, то логарифмировать сумму или разность будем как единое целое (не рассматривая логарифмы отдельных чисел).

Примеры применения теорем о логарифмах

Пример 1

Прологарифмируйте выражение \displaystyle x=\frac{ab}{c^3}

Решение: Применив сначала теорему 2, а затем теоремы 1 и 3, получим:

\displaystyle \log x= \log (ab) - \log (c^3) = \log a+ \log b -3 \log c .

Обратите внимание, что здесь мы не пишем логарифм, потому что полученные равенства справедливы при любом основании логарифма.

Пример 2

Прологарифмируйте выражение: \displaystyle x= \sqrt {\frac{3a^2 b}{c^5}} .

Решение: Применим последовательно теоремы 2, 1 и 3. Находим

\displaystyle \log x= \frac{1}{2} \log (\frac{3a^2 b}{c^5}) = \frac{1}{2} [\log (3a^2b) - \log(c^5)]=\frac{1}{2} \log (3a^2 b) - \frac{1}{2} \log (c^5) = \frac{1}{2}(\log 3+2 \log a+ \log b)- \frac{5}{2} \log c = \frac{1}{2} \log 3+ \log a+ \frac{1}{2} \log b- \frac{5}{2} \log c

Пример 3

Рассмотрим обратную задачу, когда по известному логарифму числа \displaystyle x надо найти это число: \displaystyle \log x = \log a+ \log b - \log c .

Решение:

В силу утверждений, обратных теоремам 1 и 2, запишем: \displaystyle \log x =  \log {\frac {ab}{c}} , откуда \displaystyle x = \frac{ab}{c} .