Есть формулы для логарифмов, позволяющие очень быстро найти логарифм частного, логарифм произведения, логарифм степени и корня. На самом деле эти формулы суть теоремы. Их четыре. Запомнить их достаточно легко.
Теоремы о логарифмах
Перечислим теоремы о логарифмах:
Теорема 1
Логарифм произведения двух чисел равен сумме логарифмов множителей по тому же основанию
\displaystyle \log_a N_1N_2= \log_a N_1 +\log_a N_2
Теорема 2
Логарифм частного двух чисел равен разности логарифмов делимого и делителя по тому же основанию:
\displaystyle \log_a {\frac{N_1}{N_2}}= \log_a{N_1}-\log_a{N_2}
Теорема 3
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания.
\displaystyle \log_a (N^m)=m \log_a N
Теорема 4
Это следствие из теоремы 3. Логарифм корня равен логарифму подкоренного выражения, деленному на показатель степени корня:
\displaystyle \log_a {\sqrt[m] {N}} = \frac{\log_a N}{m} = \frac{1}{m} \log_a {N}
Прологарифмировать некоторое выражение, заданное в виде произведения, частного, степени или корня, — значит выразить логарифм этого выражения через логарифмы составляющих его чисел.
Так как в приведенных логарифмах не рассматриваются логарифмы суммы или разности, то логарифмировать сумму или разность будем как единое целое (не рассматривая логарифмы отдельных чисел).
Примеры применения теорем о логарифмах
Пример 1
Прологарифмируйте выражение \displaystyle x=\frac{ab}{c^3}
Решение: Применив сначала теорему 2, а затем теоремы 1 и 3, получим:
\displaystyle \log_ax= \log_a(ab) - \log_a(c^3) = \log_aa+ \log_ab -3 \log_ac .Обратите внимание, что здесь мы взяли основанием логарифма a, но указанные равенства справедливы при любом основании логарифма.
Пример 2
Прологарифмируйте выражение: \displaystyle x= \sqrt {\frac{3a^2 b}{c^5}} .
Решение: Применим последовательно теоремы 2, 1 и 3. Находим
\displaystyle \log_ax= \frac{1}{2} \log_a(\frac{3a^2 b}{c^5}) = \frac{1}{2} [\log_a(3a^2b) - \log(c^5)]=\frac{1}{2} \log_a(3a^2 b) - \frac{1}{2} \log_a(c^5) = \frac{1}{2}(\log_a3+2 \log_aa+ \log_ab)- \frac{5}{2} \log_a c = \frac{1}{2} \log_a 3+ \log_a a+ \frac{1}{2} \log_a b- \frac{5}{2} \log_a cПример 3
Рассмотрим обратную задачу, когда по известному логарифму числа \displaystyle x надо найти это число: \displaystyle \log_a x = \log_a a+ \log_a b - \log_a c .
Решение:
В силу утверждений, обратных теоремам 1 и 2, запишем: \displaystyle \log_a x = \log_a {\frac {ab}{c}} , откуда \displaystyle x = \frac{ab}{c} .
любимый предмет в школе)сразу есть что вспомнить……