Рассмотрим задачу.
Задача №1
Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно составить, имея 32 конфеты “Белочка” и 24 конфеты “Чебурашка”, если нужно использовать все конфеты и в каждом подарке должны быть конфеты двух видов?
Решение. Каждое из чисел 32 и 24 должно делится на количество подарков. Поэтому сначала выпишем все делители числа
и 
, а потом — все делители числа 
и 
Общими делителями (их подчеркнуто) чисел 32 и 24 будут 1, 2, 4, 8, а наибольшими — 8. Это число называют наибольшим общим делителем чисел 32 и 24.
Собственно, можно составить 8 подарков, в каждом из которых будут 4 конфеты “Белочка” (32 : 8 = 4) и 3 конфеты “Чебурашка” (24 : 8 = 3).
Наибольшим общим делителем нескольких натуральных чисел называют наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из данных чисел.
Наибольший общий делитель чисел 
и 
обозначают так: НОД
Для предыдущей задачи можно записать НОД (32; 24) = 8.
В рассматриваемой задаче нашли наибольший общий делитель небольших чисел 32 и 24, записав все делители каждого из них. Также для нахождения наибольшего общего делителя (в частности, больших чисел) используют такое правило:
- наибольший общий делитель нескольких чисел равен произведению общих простых множителей этих чисел.
Пример №2
Найти НОД (630; 1470). 
Решение. Разложим числа 630 и 1470 на простые множители и подчеркнем те из них, которые будут общими в двух раскладах (а именно 2, 3, 5 и 7):
То есть, НОД (630; 1470) = 2 • 3 • 5 • 7 = 210.
Пример №3
Найти НОД (60; 140; 220).
Решение. 
То есть, НОД (60; 140; 220) = 2 • 2 • 5 = 20.
Имеем такое правило:
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел, достаточно:
1) разложить данные числа на простые множители; 2) выписать все общие простые множители в найденных раскладах и вычислить их произведение.
Если среди данных чисел будет число, на которое делятся все другие из данных чисел, тогда это число и будет наибольшим общим делителем данных чисел.
Пример №4
Найти НОД (8; 64; 320).
Решение. Поскольку числа 64 и 320 делятся на 8, то НОД (8; 64; 320) = 8.
Если разложения данных чисел на простые множители не имеют общих множителей, тогда наибольшим общим делителем этих двух чисел будет число 1.
Два натуральных числа, наибольший общий делитель которых равен 1, называют взаимно простыми числами.
Например, числа 12 и 35— взаимно простые, та как 12 = 2 • 2 • 3, 35 = 5 • 7 и НОД (12; 35) = 1. Числа же 15 и 18 не будут взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3.