Площадь прямоугольника и квадрата

Чтобы узнать, сколько краски и обоев понадобится для ремонта квартиры, нужно знать площади пола, потолка и стен. Определение площади является важным для решения многих других практических задач.

За единицу площади берут площадь единичного квадрата, то есть такого квадрата, сторона которого равна единице длины. Например, если длина стороны квадрата равна 1 м, то он имеет площадь 1 квадратный метр (записывают так: ); если длина стороны квадрата 1 см (рис. 157), то его площадь равна 1 квадратному сантиметру () и т. д.

Если площадь некоторой фигуры можно разбить на m квадратов со стороной 1 см, то ее площадь равна . Так, площадь фигуры на рисунке 158 равна . То есть определить площадь фигуры — это значит узнать, сколько единичных квадратов помещается в этой фигуре.

Из начальной школы известно, что для вычисления площади прямоугольника надо его длину умножить на ширину.

• для вычисления площади прямоугольника надо его длину умножить на ширину.

Если обозначим стороны прямоугольника а и b, а его площадь — S (от латинского слова superficies — поверхность), то получим формулу площади прямоугольника (рис. 159):

Для вычисления площади прямоугольника длины его сторон надо выразить в одних и тех же единицах: если а и b выражены в метрах, то площадь S измеряется в квадратных метрах; если а и b выражено в сантиметрах, то S — в квадратных сантиметрах и тому подобное.

Пример №15

Найди площадь прямоугольника со сторонами 1 дм и 8 см.

Решение. 1 дм = 10 см, то S = 10 • 8 = 80 ().

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны (рис. 160).

Тогда площадь квадрата S со стороной a можно найти так:  S = а • а  или S = а². Именно поэтому вторую степень числа называют квадратом этого числа.

Пример №16

Найди площадь квадрата со стороной 2 см 5 мм.

Решение. 2 см 5 мм = 25 мм. Поэтому

Рассмотрим прямоугольник ABCD, стороны которого равны 4 см и 5 см.
Ломаная KLMN разбивает его на две части (рис. 161). Одна из частей имеет площадь 12 , а другая — 8. Площадь всего прямоугольника 4 • 5 = 20 .

При этом 20 = 12 + 8. Итак,

площадь фигуры равна сумме площадей ее частей.

Установим соотношение между единицами площадей. На рисунке 162 изображен квадрат, сторона которого равна 1 дм. Поэтому его площадь 1 дм². С другой стороны, квадрат состоит из 100 квадратиков со стороной 1 см. Поэтому его площадь равна 100 см². Итак,

Это можно было установить еще и так:

Рассуждая аналогично, можно показать, что

Для измерения больших площадей (территории государств, материков) используют квадратный километр — 1 км². Это площадь квадрата, сторона которого 1 км, или 1000 м. Площадь такого квадрата можно найти еще и так: 

1000 м • 1000 м = 1 000 000 м² 

Итак,

Территория России составляет  17 130 000 км².

Площадь садов, огородов, других участков земли измеряют также в арах (от латинского слова area — площадь. ) и гектарах (от греческого слова hekaton — сто). Ар (сотка) — площадь квадрата со стороной 10 м. Поэтому 1 а = 100 м². Гектар — это площадь квадрата со стороной 100 м.
Поэтому 1 га = 10000 м², 1 га = 100 а, 1 км² = 100 га.