На рисунке 1 изображен ящик, содержащий 6 рядов по 5 пакетов сока в каждом. Общее количество пакетов можно вычислить, умножив 6 на 5, или 5 на 6. Результаты одинаковы: 6 • 5 = 30 и 5 • 6 = 30. Итак, 6 • 5 = 5 • 6. В буквенном виде.
Здесь подтверждается переместительное свойство умножения:
От перестановки множителей произведение не меняется.
Пусть в каждом пакете, изображенном на рисунке 1, 2 л сока. Как вычислить общее количество сока?
1-й способ. Известно, что пакетов всего 5-6, и в каждом — по 2 л сока. Поэтому всего в ящике 2 • (5 • 6) л сока.
2-й способ. В одном ряду 5 пакетов, а сока в каждом — 2 л, поэтому всего в этих 5 пакетах сока (2 • 5) л. Однако рядов 6, поэтому всего в ящике: (2 • 5) • 6 л сока.
Итак, (2 • 5) • 6 = 2 • (5 • 6). В буквенном виде:
Это сочетательное свойство умножения:
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.
Из переместительного и сочетательного свойств умножения вытекает, что при умножении нескольких чисел можем группировать множители по своему усмотрению. Это позволяет упрощать вычисления.
Примеры:
Переместительное и сочетательное свойства умножения можно
использовать и для упрощения выражений.
Примеры:
На применении переместительного и сочетательного свойств умножения основывается и следующее правило умножения натурального числа на разрядную единицу, которое ты знаешь.
Чтобы умножить натуральное число на разрядную единицу (10, 100, 1000 …), надо приписать справа к этому числу столько нулей, сколько их в разрядной единице.
Примеры:
Вернемся к рисунку 1. Пусть имеем 4 ряда пакетов с яблочным соком и 2 — с апельсиновым. Тогда количество пакетов можно вычислить двумя способами:
(4 + 2) • 5 и 4 • 5 + 2 • 5.
В обоих случаях общее количество равно 30. Запишем это в буквенном виде:
Это равенство выражает распределительное свойство умножения относительно сложения:
Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и эти произведения сложить.
Этот закон верен для любого количества слагаемых.
и т. д.
Одинаковые значение имеют также выражения (7 – 2) • 5 и 7 • 5 – 2 • 5, поскольку (7 – 2) • 5 = 5 • 5 = 25 и 7 • 5 – 2 • 5 = 35 – 10 = 25 .
Поэтому распределительное свойство можно применять и для вычитания. В буквенном виде его записывают так:
Это равенство выражает распределительное свойство умножения относительно вычитания:
Чтобы умножить разность на число, можно уменьшаемое и вычитаемое умножить на это число и от первого произведения вычесть второе.
Распределительное свойство умножения можно использовать для вычислений и упрощения выражений.
Пример №1
Решение.
Пример №2
Упрости выражение:
Решение. 
Используя распределительное свойство умножения для выражений (а + b) • c и (a – b) • c, получим выражение, которое не содержит скобок. Говорят: раскрыли скобки.
Пример №3
Раскрой скобки:
Решение. 
